Tekst źródłowy strony Zbiór typu F-sigma

{{Dopracować|źródła=2012-08}}
Podzbiór [[Topologia|przestrzeni topologicznej]] nazywamy '''zbiorem typu <math>F_\sigma</math>''' (czytamy: „zbiór typu ef sigma”), gdy jest on [[suma zbiorów|sumą]] [[zbiór przeliczalny|przeliczalnej]] rodziny [[zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]].

Każdy zbiór domknięty jest typu <math>F_\sigma;</math> w [[przestrzeń metryzowalna|przestrzeniach metryzowalnych]] każdy [[zbiór otwarty]] jest również tego typu – ogólnie w przestrzeniach [[Przestrzenie T5 i T6|doskonale normalnych]] każdy zbiór otwarty jest <math>F_\sigma.</math>

[[Dopełnienie zbioru|Dopełnienie]] zbioru typu <math>F_\sigma</math> nazywamy [[zbiór typu G-delta|zbiorem typu G-delta]] <math>(G_\delta).</math>

Suma przeliczalnej rodziny zbiorów typu <math>F_\sigma</math> oraz przekrój skończonej rodziny takich zbiorów jest znów zbiorem typu <math>F_\sigma.</math>

Nazwa „zbiór typu <math>F_\sigma</math>” wzięła się ze zwyczaju oznaczania zbiorów domkniętych literą <math>F,</math> a indeksem <math>\sigma</math> – operacji ''przeliczalnej sumy''. Zgodnie z taką konwencją przeliczalne [[Część wspólna|przekroje]] zbiorów typu <math>F_\sigma</math> są ''zbiorami typu <math>F_{\sigma\delta}</math>'', ich przeliczalne sumy – ''zbiorami typu <math>F_{\sigma\delta\sigma}</math>'' itd. Jeśli rozważaną przestrzenią jest <math>\mathbb{R},</math> to otrzymuje się w ten sposób coraz szersze klasy [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] w <math>\mathbb{R}.</math>

Alternatywnym oznaczeniem na klasę zbiorów typu '''F<sub>σ</sub>''' jest <math>\mathbf\Sigma^0_2.</math>

== Przykłady ==
* Zbiór [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest typu <math>F_\sigma.</math>
* Zbiór [[Liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] nie jest typu <math>F_\sigma.</math> Wynika to z tego, że liczby niewymierne są gęstym zbiorem typu <math>G_\delta.</math> Gdyby liczby niewymierne były typu zbiorem <math>F_\sigma,</math> to zbiór liczb wymiernych byłby gęstym zbiorem typu <math>G_\sigma.</math> Wówczas <math>\mathbb R</math> dałby się przedstawić jako suma dwóch rozłącznych zbiorów gęstych typu <math>G_\delta,</math> co wobec [[Twierdzenie Baire’a|twierdzenia Baire’a]] jest niemożliwe.

[[Kategoria:Topologia]]