Tekst źródłowy strony Zbiór Cantora

'''Zbiór Cantora''' – [[podzbiór]] prostej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] opisany w [[1883]]<ref>Cantor, Georg:
''De la puissance des ensembles parfait de points'', „[[Acta Mathematica]]” 4 (1884), s. 381–392.</ref> przez niemieckiego matematyka [[Georg Cantor|Georga Cantora]]. Zbiór ten odkrył w [[1875]] [[Henry John Stephen Smith]]<ref>Za: [[Ian Stewart (matematyk)|Stewart, Ian]]: ''Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos'', [[Blackwell Publishers]], Cambridge MA, 1995. {{ISBN|1-55786-106-4}}, s. 121.</ref>.

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem [[fraktal]]a.

'''Topologicznym zbiorem Cantora''' nazywa się każdą [[przestrzeń topologiczna|przestrzeń topologiczną]] [[homeomorfizm|homeomorficzną]] z trójkowym zbiorem Cantora ([[Kostka Cantora|kostką Cantora]] wagi <math>\aleph_0</math>).

== Definicje ==
=== Podstawowa konstrukcja ===
Klasyczny '''zbiór Cantora''' (zwany także '''trójkowym zbiorem Cantora''') to podzbiór [[przedział (matematyka)|przedziału domkniętego]] <math>C_0 := [0,1]</math> liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. [[Indukcja matematyczna#Twierdzenie o definiowaniu indukcyjnym|Indukcyjnie]] wybieramy zstępujący [[ciąg (matematyka)|ciąg]] zbiorów [[zbiór domknięty|domkniętych]] <math>\langle C_0,C_1,C_2,\dots\rangle,</math> takich że
:: <math>(\otimes)_n</math> &nbsp; zbiór <math>C_n</math> jest sumą <math>2^n</math> rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że
:: zbiór <math>C_0</math> to odcinek <math>[0,1]</math>

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek <math>(\otimes)_0</math>). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

: Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór <math>C_n</math> tak, że jest sumą <math>2^n</math> rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia <math>(\otimes)_n</math>). Każdy z <math>2^n</math> odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru <math>C_n</math> wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc <math>C_{n+1}=C_n\setminus (I_1\cup\ldots \cup I_{2^n})</math> (gdzie <math>I_1,\dots,I_{2^n}</math> to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór <math>C_{n+1}</math> jest sumą <math>2^{n+1}</math> rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek <math>(\otimes)_{n+1}</math> jest spełniony).

[[Plik:Cantor set in seven iterations.svg|thumb|center|729px|Zbiory C<sub>0</sub>, C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub>, C<sub>4</sub>, C<sub>5</sub> i C<sub>6</sub>]]

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg <math>\langle C_0,C_1,C_2,\dots\rangle</math> jest wyznaczony, definiujemy '''trójkowy zbiór Cantora''' jako [[Część wspólna|część wspólną]] tego ciągu:
:: <math>C:=\bigcap^\infty_{n=0}C_n.</math>

=== Alternatywna definicja ===
Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:
:: <math>\sum^\infty_{i=1}\frac{a_i}{3^i},</math>

gdzie <math>a_i \in \{0, 2\}.</math> Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału <math>[0,1],</math> dla których istnieje rozwinięcie w [[system liczbowy|układzie trójkowym]], w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

=== Modyfikacje konstrukcji ===
[[Plik:Cantorcubes.gif|thumb|300px|Odpowiednik zbioru Cantora w 3 wymiarach (kostka Cantora dla <math>\aleph_1</math> - 5 stopni rekurencji) o wymiarze fraktalnym <math>\frac{\ln 8}{\ln 3} = 1{,}892789260\dots</math>]]

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory <math>C_n,</math> tak że każdy z nich jest sumą <math>2^n</math> rozłącznych odcinków domkniętych długości <math>\left(\tfrac{1}{3}\right)^n.</math> Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory <math>C_{n+1}</math> wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na <math>C_n,</math> ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do '''zbioru Smitha-Volterra-Cantora'''. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych <math>\langle D_0,D_1,D_2,\dots\rangle</math> tak, że każdy zbiór <math>D_n</math> jest sumą <math>2^n</math> rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia
:: <math>D_0=[0,1].</math>

Następnie, przypuśćmy że zbiór <math>D_n</math> jest już wyznaczony i jest on sumą <math>2^n</math> rozłącznych odcinków domkniętych, <math>D_n=I_1\cup\ldots\cup I_{2^n}.</math> W centrum każdego z odcinków <math>I_k</math> wybieramy otwarty pododcinek <math>J_k</math> długości <math>|J_k|=2^{-2(n+1)}.</math> Kładziemy <math>D_{n+1}=D_n\setminus (J_1\cup\ldots\cup J_{2^n}).</math>

[[Plik:Smith-Volterra-Cantor set.svg|thumb|center|512px|Zbiory D<sub>0</sub>, D<sub>1</sub>, D<sub>2</sub>, D<sub>3</sub>, D<sub>4</sub>, D<sub>5</sub>]]

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako
:: <math>D:=\bigcap^\infty_{n=0}D_n.</math>

== Podstawowe właściwości ==
Trójkowy zbiór Cantora <math>C{:}</math>
* ma moc [[Continuum (teoria mnogości)|continuum]]
* jest [[przestrzeń zwarta|zwartym]] zbiorem doskonałym (tzn. nie ma punktów izolowanych),
* jest [[zbiór nigdziegęsty|nigdziegęstym]] podzbiorem odcinka <math>[0,1],</math>
* jest [[zbiór miary zero|zbiorem miary zero]] (w sensie [[Miara Lebesgue’a|Lebesgue’a]]),
* jako [[Topologia podprzestrzeni|podprzestrzeń]] prostej ma [[Baza przestrzeni topologicznej|bazę]] złożoną ze zbiorów <math>P_1, P_2,\dots</math> domknięto-otwartych i takich, że <math>\lim\mathrm{diam}(P_n) = 0.</math> W szczególności jest on [[Przestrzeń zerowymiarowa|przestrzenią zerowymiarową]]. Jest on homeomorficzny z [[Topologia produktowa|produktem]] przeliczalnie wielu kopii przestrzeni [[Przestrzeń dyskretna|dyskretnych]] <math>\{0,1\}.</math>

[[Wymiar Hausdorffa|Wymiar fraktalny]] klasycznego zbioru Cantora wynosi
: <math>\frac{\ln 2}{\ln 3} = 0{,}630929754\dots</math>

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału <math>[0,1).</math> Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora <math>D</math> ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest [[miara zupełna|zupełna]] jest fakt, iż [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciało]] zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy <math>2^{\mathfrak{c}}.</math>

== Zbiór Cantora w szerszym sensie ==
[[Topologia|Topologicznie]] zbiór Cantora to każda [[przestrzeń zwarta]], [[Przestrzeń metryczna#Topologia generowana przez metrykę|metryzowalna]], której składowe [[przestrzeń spójna|spójności]] składają się z jednego [[punkt (geometria)|punktu]] i której każdy punkt jest [[punkt skupienia zbioru|punktem skupienia]]. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest [[funkcja ciągła|ciągłym]] [[Obraz i przeciwobraz|obrazem]] zbioru Cantora.

== Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora ==
[[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]] udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

== Zobacz też ==
* [[dywan Sierpińskiego]]
* [[funkcja Cantora]]
* [[kostka Cantora]]
* [[kostka Mengera]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Topologia]]
[[Kategoria:L-systemy]]