Tekst źródłowy strony Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

{{Inne znaczenia|rachunku różniczkowego|[[twierdzenie Lagrange’a|inne twierdzenia Lagrange’a]]}}
'''Twierdzenie Lagrange’a''' – jedno z kilku [[twierdzenie o wartości średniej|twierdzeń o wartości średniej]] w [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku różniczkowym]].

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska [[Joseph Louis Lagrange|Josepha Louisa Lagrange’a]].

== Twierdzenie Lagrange’a ==
Jeśli dana [[funkcja]] <math>f: [a,b] \to \mathbb R</math> jest
* [[funkcja ciągła|ciągła]] w [[przedział (matematyka)|przedziale]] <math>[a, b],</math>
* [[funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]] w przedziale <math>(a, b),</math>

to istnieje taki punkt <math>c \in (a, b),</math> że:
: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).</math>

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

== Interpretacja geometryczna ==
Geometrycznie twierdzenie Lagrange’a oznacza, że na łuku będącym [[wykres funkcji|wykresem funkcji]] od punktu <math>\left(a, f(a)\right)</math> do punktu <math>\left(b, f(b)\right),</math> istnieje taki punkt, w którym [[styczna]] jest równoległa do [[sieczna|siecznej]] poprowadzonej między punktami <math>\left(a, f(a)\right)</math> i <math>\left(b, f(b)\right).</math>

[[Plik:Twierdzenie Lagrangea.svg|center]]

Na rysunku [[Prosta|współczynnik kierunkowy]] stycznej do wykresu funkcji w punkcie <math>\left(c, f(c)\right)</math> wynosi <math>f'(c).</math> Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy:
: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math>

== Wartość średnia ==
Twierdzenie Lagrange’a zapisane w postaci
: <math>f(b)-f(a)=f'(c)(b - a)</math>

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów <math>b</math> i <math>a</math> wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między <math>a</math> i <math>b</math> – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

== Dowód ==
Kładziemy:
: <math>K=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},</math>
: <math>g(x)=f(x)-K(x-a).</math>

Mamy wtedy:
: <math>g(a)=f(a)-K(a-a)=f(a)</math>

oraz
: <math>g(b)=f(b)-K(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a).</math>

A więc:
: <math>g(a)=g(b),</math> czyli funkcja <math>g(x)</math> spełnia założenia [[twierdzenie Rolle’a|twierdzenia Rolle’a]], a zatem istnieje punkt <math>c \in (a,b)</math> taki, że <math>g'(c)=0,</math> z drugiej strony mamy <math>g'(x)=f'(x)-K</math> i stąd otrzymujemy <math>0=g'(c)=f'(c)-K.</math> Dlatego też <math>f'(c)=K=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math>

== Uogólnienie ==
Dla funkcji o wartościach w dowolnych [[przestrzeń liniowa|przestrzeniach wektorowych]] (a nawet w [[Przestrzeń euklidesowa|<math>\mathbb R^n</math>]] dla <math>n>1</math>) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład [[linia śrubowa]] (traktowana jako wykres funkcji <math>\mathbb R \to \mathbb R^2</math>) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji [[Pochodna funkcji#Uogólnienia|różniczkowalnej]] o wartościach w dowolnej [[Przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] spełniona jest nierówność:
: <math>\| f(b)-f(a) \| \leq |b-a| \cdot \sup\limits_{t \in (a,b)} \|f'(t)\|.</math>

Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego <math>\epsilon >0</math> i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale <math>(a,b)</math> kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy <math>a+\epsilon</math> w miejscu <math>a</math> i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest <math>b.</math> Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z <math>\epsilon</math> do zera daje, dzięki ciągłości funkcji <math>f</math> tezę.

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)|twierdzenie Cauchy’ego]]
* [[twierdzenie Darboux]]
* [[twierdzenie Rolle’a]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Fichtenholz |imię = G.M. |autor link = Grigorij Fichtenholz |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |wydanie = dwunaste |tom = 1 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |rok = 2002 |strony = 196 |isbn = 83-01-02175-6}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj stronę |url = http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueTheorem.html |tytuł = Mean-Value Theorem |nazwisko = Weisstein |imię = Eric W. |praca = [[MathWorld]] |opublikowany = [[Wolfram Research|Wolfram Research, Inc.]] |język = en |data dostępu = 2015-02-20}}

[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]]
[[Kategoria:Twierdzenia – analiza rzeczywista|Lagrange’a (rachunek różniczkowy)]]