Tekst źródłowy strony Twierdzenie Lévy’ego-Craméra

== Twierdzenie ==
Niech <math>(F_n)_{n \in \mathbb N}</math> będzie [[ciąg (matematyka)|ciągiem]] [[dystrybuanta|dystrybuant]], a <math>(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}</math> będzie ciągiem odpowiadających im [[Dystrybuanta#Funkcja charakterystyczna|funkcji charakterystycznych]]. Ciąg <math>(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest [[Zbieżność punktowa ciągu funkcji|punktowo zbieżny]] do [[funkcja ciągła|ciągłej]] w zerze [[Funkcja|funkcji]] <math> \varphi </math> wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg <math>(F_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest [[Dystrybuanta#Zbieżność a ciągłość|słabo zbieżny]] do pewnej dystrybuanty <math> F </math>. Dodatkowo, <math> \varphi</math> jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty <math> F </math>.

== Wniosek ==
Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant <math>(F_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest słabo zbieżny do dystrybuanty <math> F </math> wtedy i tylko wtedy, gdy
: <math>\lim_{n \to \infty}~\int\limits_\mathbb R~g(x) dF_n(x) = \int\limits_\mathbb R~g(x) dF(x)</math>
dla każdej [[Funkcja ograniczona|ograniczonej]] funkcji ciągłej <math> g . </math>

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Fisz | imię = Marek | tytuł = Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | rok = 1969 | strony = 203 }}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Gerstenkorn | imię = Tadeusz |nazwisko2 = Śródka |imię2 = Tadeusz |tytuł = Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | rok = 1973 | strony = 368 | isbn = }}

[[Kategoria:Twierdzenia probabilistyki|Lévy’ego-Craméra]]