Tekst źródłowy strony Twierdzenie Banacha-Steinhausa

'''Twierdzenie Banacha-Steinhausa''' (''zasada jednostajnej ograniczoności'') – twierdzenie [[analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]] mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że [[granica (matematyka)|granica punktowa]] [[ciąg (matematyka)|ciągu]] [[Przekształcenie liniowe#Wymiar nieskończony|operatorów liniowych]] i ''jednakowo ciągłych'' między [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]] jest [[Operator liniowy ograniczony|ciągłym]] operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sformułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku [[Stefan Banach]] i [[Hugo Steinhaus]]<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko=Banach |imię=Stefan |autor link=Stefan Banach |nazwisko2=Steinhaus |imię2=Hugo |autor link2=Hugo Steinhaus |tytuł=Sur le principe de la condensation de singularités |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918.pdf |czasopismo=[[Fundamenta Mathematicae]] |wolumin=9 |strony=50–61 |rok=1927}}</ref>.

== Jednakowa ciągłość ==
Dalej <math>X</math> i <math>Y</math> oznaczać będą ustalone [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzenie liniowo-topologiczne]]. Rodzinę <math>\mathcal{L}</math> przekształceń liniowych przestrzeni <math>X</math> w przestrzeń <math>Y</math> nazywa się '''jednakowo ciągłą''', gdy dla każdego otoczenia zera <math>W\subseteq Y</math> istnieje takie otoczenie zera <math>U\subseteq X,</math> że
: <math>\Lambda(U)\subseteq W</math>

dla każdego <math>\Lambda\in \mathcal{L}.</math> W przypadku gdy <math>X</math> i <math>Y</math> są [[przestrzeń unormowana|przestrzeniami unormowanymi]], to rodzina <math>\mathcal{L}</math> jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy
: <math>(\exist M>0)(\forall \Lambda\in \mathcal{L})(\|\Lambda\|\leqslant M).</math>

== Twierdzenie Banacha-Steinhausa ==
Niech <math>\mathcal{L}</math> będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni <math>X</math> w przestrzeń <math>Y.</math> Jeżeli zbiór
: <math>F=\{x\in X\colon \mbox{zbiór }\{\Lambda x\colon \Lambda \in \mathcal{L}\}\mbox{ jest ograniczony}\}</math>

jest podzbiorem [[Zbiór pierwszej kategorii|drugiej kategorii]] przestrzeni <math>X,</math> to <math>\mathcal{L}</math> jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór <math>F</math> jest całą przestrzenią.

== Wnioski ==
* [[Twierdzenie Baire’a]] mówi, że [[przestrzeń zupełna|przestrzenie metryczne zupełne]] są (w sobie) [[Zbiór pierwszej kategorii|drugiej kategorii]]. Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeżeli <math>X</math> jest [[Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)|F-przestrzenią]] oraz dla każdego punktu <math>x</math> przestrzeni <math>X</math> zbiór <math>\{\Lambda x\colon \Lambda\in \mathcal{L}\}</math> jest ograniczony, to <math>\mathcal{L}</math> jest rodziną jednakowo ciągłą.
* Jeżeli <math>X</math> jest F-przestrzenią oraz <math>\{\Lambda_n\colon n\in \mathbb{N}\}</math> jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni <math>X</math> i o wartościach w przestrzeni <math>Y,</math> który jest punktowo zbieżny do przekształcenia <math>\Lambda,</math> to przekształcenie <math>\Lambda\colon X\to Y</math> jest operatorem liniowym i ciągłym.
* Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy [[słaba topologia|słabo ograniczony]] podzbiór [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej]] jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Rudin |imię=Walter |autor link=Walter Rudin |tytuł=Analiza funkcjonalna |miejsce=Warszawa |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |rok=2009 |strony=55–56}}

[[Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Banacha|Banacha-Steinhausa]]