Tekst źródłowy strony Równanie Clapeyrona (stan gazu doskonałego)

{{Inne znaczenia|równania stanu gazu doskonałego|inne znaczenia terminu ''[[równanie Clapeyrona]]''}}
'''Równanie Clapeyrona''', '''równanie stanu gazu doskonałego''' – [[równanie stanu (termodynamika)|równanie stanu]] opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością [[gaz doskonały|gazu doskonałego]], a w sposób przybliżony opisujące [[gaz rzeczywisty|gazy rzeczywiste]]. Sformułowane zostało w 1834 roku przez [[Benoît Clapeyron|Benoîta Clapeyrona]]. Prawo to można wyrazić wzorem{{r|Encyklopedia|Basiński}}:
:: <math>pv = nRT</math>&nbsp;&nbsp;lub&nbsp;&nbsp; <math>pV = RT</math>

gdzie{{u|uwaga1}}:
* <math>p</math> – [[ciśnienie]]
* <math>v</math> – [[objętość]]
* <math>V</math> – [[objętość molowa]]
* <math>n</math> – liczba [[mol]]i gazu, będąca miarą liczby jego cząsteczek; ''n'' = ''v''/''V''
* <math>T</math> – [[kelwin|temperatura bezwzględna]], ''T''&nbsp;[K] &nbsp;=&nbsp;''t''&nbsp;[°C] + 273,15
* <math>R</math> – uniwersalna [[stała gazowa]]: ''R&nbsp;=&nbsp;N<sub>A</sub>k<sub>B</sub>'', gdzie: ''N<sub>A</sub>'' – [[stała Avogadra]] (liczba Avogadra), ''k<sub>B</sub>'' – [[stała Boltzmanna]], ''R''&nbsp;=&nbsp;8,314&nbsp;J/(mol·K)

[[Plik:Ideal gas isotherms.svg|mały|Izotermy gazu doskonałego. Zakrzywione linie reprezentują zależność pomiędzy ciśnieniem (na osi pionowej) a objętością (na osi poziomej) dla idealnego gazu w różnych temperaturach: linie, które są dalej od początku (czyli linie, które są bliżej prawego górnego rogu wykresu) reprezentują wyższe temperatury.]]

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:
* gaz składa się z poruszających się cząsteczek;
* cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia, w którym się znajdują;
* nie ma oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;
* objętość (rozmiary) cząsteczek pomija się;
* zderzenia cząsteczek są [[zderzenie sprężyste|doskonale sprężyste]];

[[Plik:Ideal Gas Law.jpg|mały|Zderzenia molekularne w zamkniętym zbiorniku (zbiornik propanu) pokazano po prawej stronie. Strzałki przedstawiają losowe ruchy i kolizje tych cząsteczek. Ciśnienie i temperatura gazu są wprost proporcjonalne: wraz ze wzrostem temperatury ciśnienie propanu wzrasta o ten sam współczynnik. Prostą konsekwencją tej proporcjonalności jest to, że w ciepłym dniu ciśnienie w zbiorniku propanu zostanie podniesione, a zatem zbiorniki propanu muszą być przystosowane do wytrzymywania takiego wzrostu ciśnienia.]]
Równanie to, mimo że wyprowadzone w ramach wyidealizowanego modelu, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 [[Atmosfera fizyczna|atmosfer]] i temperatury do 300–400&nbsp;°C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu przy danym ciśnieniu.

== Wyprowadzenie ==
Równanie to można wyprowadzić fenomenologicznie (tj. bez odwoływania się do mikroskopowych właściwości układu). W wyniku wielu eksperymentów przeprowadzonych na gazach głównie w XVIII wieku badacze doszli do wniosku, że można w sposób satysfakcjonujący i wystarczający opisać te przemiany dla 1 mola gazu (n&nbsp;=&nbsp;1) poprzez podanie 3 zmiennych np. ''T'', ''p'', ''V''. Spośród tych trzech zmiennych tylko dwie są niezależne, wobec czego można traktować np. ciśnienie jako funkcję dwóch pozostałych zmiennych, tj. ''p''&nbsp;=&nbsp;''f''(''T'',''V''). Można zatem zapisać [[Różniczka zupełna|różniczkę zupełną]] ciśnienia d''p'' jako
:: <math>\operatorname{d}p={{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}T} \right)}_V}\operatorname{d}T+{{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}V} \right)}_T}\operatorname{d}V</math>

Pierwszy człon opisuje proces, w którym gaz zamknięty w stałej objętości jest ogrzewany, czemu towarzyszy zmiana jego ciśnienia. Jako pierwszy taką przemianę opisał [[Jacques Alexandre Charles]] ([[prawo Charles’a]]) i podał jej równanie w postaci:
:: <math>p=kT</math>

skąd wynika
:: <math>{{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}T} \right)}_V}=k=\frac{p}{T}</math>

Drugi człon to izotermiczne rozprężanie lub sprężanie gazu opisane przez [[Robert Boyle|Boyle’a]] i [[Edme Mariotte|Mariotte’a]] (izotermiczna przemiana Boyle’a-Mariotte’a) wzorem
:: <math>p=\frac{l}{V}</math>

gdzie ''l'' to stała. Z równania tego wynika, że
:: <math>{{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}V} \right)}_T}=-\frac{l}{{{V}^2}}=-\frac{p}{V}</math>

Otrzymane pochodne cząstkowe podstawmy do wyrażenia na d''p''
:: <math>\operatorname{d}p=\frac{p}{T}\operatorname{d}T-\frac{p}{V}\operatorname{d}V</math>

Dzieląc to równanie przez ''p'' można rozdzielić zmienne
:: <math>\frac{\operatorname{d}p}{p}=\frac{\operatorname{d}T}{T}-\frac{\operatorname{d}V}{V}</math>

Po wycałkowaniu
:: <math>\ln p=\ln T-\ln V+C</math>

Stałą całkowania ''C'' można zapisać przy pomocy innej stałej ''R''
:: <math>C=\ln R</math>

wówczas, ponieważ funkcja '''ln''' jest różnowartościowa, a to prowadzi do równania
:: <math>pV=RT</math>

Rozumowanie można uogólnić na dowolną liczbę moli gazu ''n''.
Równanie to stanowi fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:
* ''n'' moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu (''V&nbsp;=&nbsp;nRT/p'').
* w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej (''n&nbsp;=&nbsp;pV/RT'')
* ''n'' moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierało na jego ścianki takie samo ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz (''p&nbsp;=&nbsp;nRT/V'').

Określenie ''równanie Clapeyrona'' nie jest stosowane powszechnie w odniesieniu do tego wzoru – w literaturze anglojęzycznej równanie to znane jest jedynie jako ''ideal gas law'' (prawo gazu doskonałego), podobnie jest w większości innych języków. W [[Rosja|Rosji]] równanie to funkcjonuje pod nazwą równania [[Dmitrij Mendelejew|Mendelejewa]]-Clapeyrona. Jako ''[[Równanie Clapeyrona (przemiana fazowa)|równanie Clapeyrona]]'' określana jest też zależność opisująca [[przemiana fazowa|przemiany fazowe]], m.in. ciecz-gaz. Pod tą nazwą często funkcjonuje też [[równanie Clausiusa-Clapeyrona]].

Rozszerzeniami równania gazu doskonałego, uwzględniającymi objętość cząsteczek gazu oraz przyciąganie cząsteczek, są [[równanie van der Waalsa]] oraz [[wirialne równanie stanu]].

== Energia gazu ==
Zgodnie z założeniami kinetycznej teorii gazów zakładaliśmy, że nie ma międzycząsteczkowych oddziaływań pomiędzy cząsteczkami gazu doskonałego. Innymi słowy, jego potencjalna energia wynosi zero. Stąd cała energia posiadana przez gaz jest energią kinetyczną:
:: <math>E=\frac{3}{2}RT</math>

Jest to energia kinetyczna jednego mola gazu.
{| class="wikitable"
!Energia gazu
!Wzór matematyczny
|-
|energia związana z jednym molem gazu
|<math>E=\frac{3}{2}RT</math>
|-
|energia związana z jednym gramem gazu
|<math>E=\frac{3}{2}rT</math>
|-
|energia związana z jedną cząsteczką gazu
|<math>E=\frac{3}{2}k_BT</math>
|}

== Zobacz też ==
* Przemiany termodynamiczne
** [[przemiana izobaryczna]] – (stałe ciśnienie ''p&nbsp;''=&nbsp;const)
** [[przemiana izotermiczna]] – (stała temperatura ''T&nbsp;''=&nbsp;const)
** [[przemiana izochoryczna]] – (stała objętość ''V&nbsp;''=&nbsp;const)
** [[przemiana adiabatyczna]] – (brak wymiany ciepła z otoczeniem ''Q''&nbsp;=&nbsp;0)
** [[przemiana politropowa]] – (''pV<sup>n</sup>&nbsp;=&nbsp;''const, gdzie ''n'' – wykładnik politropy)

== Uwagi ==
{{Uwagi|
<ref name="uwaga1">Zgodnie z zasadą obowiązującą w [[Termodynamika chemiczna|termodynamice chemicznej]] wielkie litery powinny być stosowane do oznaczania wielkości molowych (stąd ''V'' – [[objętość molowa]]), a litery małe do innych wielkości (stąd ''v'' – [[objętość]]).</ref>
}}

== Przypisy ==
{{Przypisy|
<ref name="Basiński">{{cytuj książkę |autor = [[Antoni Basiński]] |autor2 = [[Adam Bielański (chemik)|Bielański Adam]] |autor3 = [[Kazimierz Gumiński]] i inni |tytuł = Chemia fizyczna |wydanie = 3 |strony = 297 |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |rok = 1966}}</ref>
<ref name="Encyklopedia">{{cytuj książkę |tytuł = Encyklopedia techniki. Chemia |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne|WNT]] |miejsce = Warszawa |data = 1965}}</ref>
}}

== Linki zewnętrzne ==
* [http://www.walter-fendt.de/ph14pl/gaslaw_pl.htm applet Java obrazujący działanie przemian gazu doskonałego]

{{Mechanika ośrodków ciągłych}}

[[Kategoria:Prawa gazowe]]
[[Kategoria:Równania w fizyce|Clapeyrona (stan gazu doskonałego)]]