Tekst źródłowy strony Przestrzeń metryczna

{{spis treści}}
'''Przestrzeń metryczna''' – [[zbiór]] z zadaną na nim '''metryką''', tj. funkcją, która określa [[odległość]] między każdą parą elementów tego zbioru.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowych]] ([[prosta|prostej]], [[płaszczyzna|płaszczyzny]] czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez [[Maurice Fréchet|Maurice’a Frécheta]]<ref>''Sur quelques points du calcul fonctionnel'', Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.</ref>.

== Definicja metryki ==
Niech <math>X</math> oznacza dowolny [[zbiór pusty|niepusty]] [[zbiór]]. '''Metryką''' w zbiorze <math>X</math> nazywa się [[funkcja|funkcję]]<ref>Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.</ref>
: <math>d\colon X \times X \to [0, +\infty),</math>

która dla dowolnych elementów <math>a, b, c</math> tego zbioru spełnia warunki:
# [[Zasada identyczności przedmiotów nierozróżnialnych|identyczność nierozróżnialnych]]
#: <math>d(a, b) = 0 \iff a = b,</math>
# symetria
#: <math>d(a, b) = d(b, a),</math>
# [[nierówność trójkąta]]
#: <math>d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(c, b).</math>

Gdy <math>d</math> jest metryką w zbiorze <math>X,</math> to [[para uporządkowana|parę]] <math>(X, d)</math> nazywa się '''przestrzenią metryczną,'''
* elementy zbioru <math>X</math> nazywa się '''punktami,'''
* liczbę <math>d(a, b)</math> nazywa się '''odległością''' punktu <math>a</math> od punktu <math>b.</math>

=== Uwaga 1. ===
Niekiedy pomija się warunek nieujemności <math>d(a, b) \geqslant 0</math> przyjmując <math>d\colon X \times X \to \mathbb R</math> zamiast <math>d\colon X \times X \to [0, +\infty).</math>

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:
: <math>0 = d(a, a) \leqslant d(a, b) + d(b, a) = 2\cdot d(a, b).</math>

=== Uwaga 2. ===
Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:
: <math>d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(b, c).</math>

'''Dowód:'''

1) Przyjmując w powyższym warunku <math>c=a</math> dostaniemy:
: <math>d(a, b) \leqslant d(a, a) + d(b, a)=d(b, a).</math>
2) Zamieniając w powyższym warunku <math>a</math> i <math>b</math> oraz przyjmując <math>c=b</math> dostaniemy:
: <math>d(b, a) \leqslant d(b, b) + d(a, b)=d(a, b).</math>
3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: <math>d(a, b) = d(b, a),</math> c.n.d.

== Metryki w przestrzeni liniowej ==
W [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] (np. [[Przestrzeń euklidesowa|euklidesowej]], [[Przestrzeń unormowana|unormowanej]], [[Przestrzeń unitarna|unitarnej]]) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach <math>\mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n)</math> oraz <math>\mathbf y = (y_1, y_2, \dots, y_n)</math> oznaczają elementy przestrzeni <math>\mathbb R^n.</math>

=== Metryka euklidesowa ===
Metrykę euklidesową w przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> definiuje się wzorem
: <math>d_e(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + \dots + (y_n - x_n)^2},</math>

tzn. jako pierwiastek [[iloczyn skalarny|euklidesowego iloczynu skalarnego]] różnicy dwóch wektorów przez siebie:
: <math>d_e(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{\langle \mathbf y - \mathbf x, \mathbf y - \mathbf x \rangle}.</math>

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]] różnic współrzędnych punktów <math>\mathbf x = (x_1)</math> oraz <math>\mathbf y = (y_1)</math>
: <math>d_e(\mathbf x, \mathbf y) = |y_1 - x_1|.</math>

=== Metryka generowana przez normę ===
Jeżeli <math>(X, \|\cdot\|)</math> jest [[Przestrzeń unormowana|przestrzenią unormowaną]], to jako odległość (metrykę) punktów <math>\mathbf x, \mathbf y</math> można przyjąć '''długość (normę)''' wektora, będącego różnicą wektorów <math>\mathbf x, \mathbf y,</math> tj.
: <math>d(\mathbf x, \mathbf y) = \|\mathbf x-\mathbf y\|</math> dla <math>\mathbf x, \mathbf y \in X</math>

Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci
: <math>\|\mathbf x-\mathbf y\|_p = \big(|x_1-y_1|^p + |x_2-y_2|^p + \ldots + |x_n-y_n|^p\big)^{1/p}</math>

gdzie <math>1 \leqslant p < \infty.</math> Metryka <math>\|\cdot \|_2</math> jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem <math>|\cdot|.</math>

Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się '''metryką generowaną przez normę'''.

=== Metryka maksimum ===
{{Szachownica|tright|
|
<!-- a b c d e f g h
8 -->|  |  |  |  |  |  |  |  <!-- 8
7 -->|  |  |  |  |  |  |  |  <!-- 7
6 -->|  |  |  |  |  |  |  |  <!-- 6
5 -->|  |  |xo|xo|xo|  |  |  <!-- 5
4 -->|  |  |xo|kl|xo|  |  |  <!-- 4
3 -->|  |  |xo|xo|xo|  |  |  <!-- 3
2 -->|  |  |  |  |  |  |  |  <!-- 2
1 -->|  |  |  |  |  |  |  |  <!-- 1
      a b c d e f g h -->
| <center>Ruchy króla
}}

{{Zobacz też|odległość Czebyszewa}}
Metryka maksimum zwana także ''metryką nieskończoność, maksimum, [[Pafnutij Czebyszow|Czebyszewa]], szachową'' jest określona w przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> za pomocą wzoru
: <math>d_\infty(\mathbf x, \mathbf y) = \max_{k=1, \dots, n}~|x_k - y_k|</math>

– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę ''maksimum'' zadaną wzorem
: <math>\|\mathbf x\|_\infty = \max\big\{|x_i| : i=1, \dots, n\big\}.</math>

[[Kula]] w tej metryce jest [[przedział wielowymiarowy|kostką ''n''-wymiarową]].

Łatwo sprawdzić, że w grze w [[szachy]] minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

=== Metryka węzła kolejowego ===
{{Zobacz też|jeż (topologia)}}
Metryka węzła kolejowego zwana także ''metryką centrum, kolejową, metra paryskiego'' może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech <math>O</math> będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów <math>A, B</math> w tej metryce wyznacza się następująco:
: Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt <math>O,</math> to
:: <math>d_k(A,B) = d_e(A,B),</math>
: w przeciwnym wypadku
:: <math>d_k(A,B) = d_e(A,O) + d_e(O,B).</math>

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń <math>\mathbb R^n,</math> w której ustalono pewien jej punkt <math>O.</math>

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu <math>O.</math> Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

=== Metryka rzeka ===
[[Plik:Jungle river metric.svg|thumb|200px|Odległość w metryce rzeka.]]
Niech <math>r</math> będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość <math>d_r(A,B)</math> punktów <math>A, B</math> w metryce rzece wyznacza się następująco:
: Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej <math>r,</math> to
:: <math>d_r(A,B) = d_e(A,B),</math>
: w przeciwnym wypadku
:: <math>d_r(A, B) = d_e(A , C_1) + d_e(C_1, C_2) + d_e(C_2, B).</math>
:: gdzie <math>C_1, C_2</math> są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio <math>A, B</math> na prostą <math>r.</math>

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń <math>\mathbb R^n,</math> w której ustalono pewną jej prostą <math>r.</math>

Metrykę tą można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, ''prostopadłych jej'' ''dopływów'' (por. rysunek).

=== Uogólniona metryka rzeka ===
Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w <math>\mathbb R^n</math> można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej [[rozmaitość liniowa|rozmaitość liniową]] <math>\mathbb r</math> wymiaru a spełniającego <math>0\leqslant a<n.</math> Niech ponadto <math>0< b<n,</math> przy czym <math>a+b\leqslant n.</math>
: Jeżeli punkty <math>A,B</math> leżą na pewnej rozmaitości wymiaru <math>b</math> prostopadłej do rozmaitości <math>r,</math> to
:: <math>d_r(A,B) = d_e(A,B),</math>
: w przeciwnym wypadku
:: <math>d_r(A, B) = d_e(A , C_1) + d_e(C_1, C_2) + d_e(C_2, B).</math>
:: gdzie <math>C_1, C_2</math> są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio <math>A, B</math> na prostą <math>r.</math>

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego

=== Metryka dyskretna ===
Metrykę dyskretną zwaną także ''metryką zero-jedynkową'' wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość <math>d_d(x,y)</math> punktów <math>x</math> oraz <math>y</math> zbioru <math>X</math> określa wzór<ref>Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.</ref>
: <math>d_d(x,y) = \begin{cases} 0, & \text{gdy } x = y, \\ 1, & \text{gdy } x \ne y. \end{cases}</math>

Parę <math>X</math> z metryką <math>d_d</math> nazywa się '''przestrzenią metryczną dyskretną.'''

=== Porównanie metryk przytoczonych w przykładach ===
Dla <math>n=1</math> metryki euklidesowa, Manhattan, szachowa pokrywają się. Jeżeli <math>n=2,</math> to metryki szachowa i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie [[izometria|izometryczne]] (tzn. [[izomorfizm|izomorficzne]] metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

== Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich ==
Powierzchnia [[Sfera|sfery]], [[Elipsoida obrotowa|elipsoidy obrotowej]], [[Hiperboloida|hiperboloidy obrotowej]], czy też 4-wymiarowa [[czasoprzestrzeń]] opisywana w [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako [[Rozmaitość riemannowska|rozmaitości riemannowskie]] i najogólniejsze – [[Rozmaitość pseudoriemannowska|rozmaitości pseudoriemannowskie]].

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu [[tensor metryczny]].

Niech <math>M</math> będzie rozmaitością wymiaru <math>n</math> i niech dany będzie układ [[Współrzędne krzywoliniowe|współrzędnych krzywoliniowych]], tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe <math>\mathbf x =(x^1,\dots, x^n).</math>

=== Odległość infinitezymalna ===
Tensor metryczny definiuje '''infinitezymalne odległości''' między punktami: długość wektora <math>d\mathbf {x}= (dx^1,\dots, dx^n)</math> łączącego punkt <math>\mathbf x</math> z infinitezymalnie odległym punktem <math>\mathbf y=\mathbf x + d\mathbf x</math> zadana jest wzorem
: <math>|d\mathbf {x}| = \sqrt{\Bigg|  \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(\mathbf x) dx^i dx^j \Bigg|}</math>

gdzie:
: <math>g_{ij}(\mathbf x), i,j=1,\dots,n</math>

– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia <math>\mathbf x</math>)

=== Odległość dowolnych punktów ===
Dla punktów <math>\mathbf {x,y}</math> rozmaitości <math>M</math> dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych <math>\gamma</math> ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty <math>\mathbf {x,y},</math> czyli
: <math>d(\mathbf {x,y}) = \inf \,\{ \,L(\gamma), {\gamma } \in M\, ,\gamma(a) = \mathbf {x}, \gamma(b) = \mathbf {y} \}</math>

gdzie:
:* <math>\inf \,\{...\}</math> = [[Kresy dolny i górny|infimum]] = kres dolny zbioru
:* <math>L(\gamma) = \int\limits_a^b \sqrt{\Bigg|\sum_{i,j=1}^n g_{ij}(\gamma(t))\frac{d\gamma^i(t)}{dt}\frac{d\gamma^j(t)}{dt}\Bigg|}\,dt</math> – długość krzywej <math>\gamma</math>

przy czym krzywa <math>\gamma</math> dana jest przez <math>n</math> równań parametrycznych
: <math>\gamma(t)=[\gamma^1(t), \dots, \gamma^n(t)],</math> <math>t\in \langle a,b\rangle</math>

oraz
: <math>\gamma(a) = \mathbf {x}, \,\,\gamma(b) = \mathbf {y}</math>

Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej [[Linia geodezyjna|geodezyjnej]]. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

== Topologia przestrzeni metrycznej ==
Przestrzeń metryczną <math>X</math> łatwo jest przekształcić w [[przestrzeń topologiczna|przestrzeń topologiczną]], definiując następująco topologię:

a) [[Baza przestrzeni topologicznej|bazę]] topologii stanowi [[rodzina zbiorów|rodzina]] wszystkich [[kula|kul otwartych]], tj. zbiorów postaci
: <math>B(x, r) = \{y \in X : d\,(x, y) < r\},</math>

gdzie <math>x</math> – dowolny elementem przestrzeni <math>X,</math> <math>r</math> – promień kuli <math>(r>0),</math>

b) podzbiór <math>U</math> przestrzeni <math>X</math> należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się '''topologią generowaną na zbiorze <math>X</math> przez metrykę''' <math>d.</math>

== Metryzowalna przestrzeń topologiczna ==
{{Osobny artykuł|Przestrzeń metryzowalna}}Przestrzeń topologiczną <math>(X,\tau)</math> nazywamy '''[[Przestrzeń metryzowalna|przestrzenią metryzowalną]]''', jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:
* [[twierdzenie Nagaty-Smirnowa]],
* [[twierdzenie Binga]].

Z punktu widzenia [[topologia|topologii]] metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak [[układ współrzędnych|układy współrzędnych]] służą badaniu [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowych]]).

== Własności przestrzeni metrycznych ==
'''Tw. 1''' Każda przestrzeń metryczna jest
* [[Przestrzeń parazwarta|parazwarta]],
* [[Przestrzenie T5 i T6|doskonale normalna]],
* [[Przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]],
* spełnia [[Aksjomaty przeliczalności|pierwszy aksjomat przeliczalności]].

'''Tw. 2''' Poniższe [[niezmiennik topologiczny|niezmienniki topologiczne]] są równoważne w przestrzeniach metrycznych:
* [[Aksjomaty przeliczalności|drugi aksjomat przeliczalności]], [[Przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowość]], [[przestrzeń Lindelöfa|własność Lindelöfa]],
* [[przestrzeń zwarta|zwartość]], [[przestrzeń zwarta|ciągowa zwartość]], [[przestrzeń zwarta|przeliczalna zwartość]].

== Definicja odległości punktu od zbioru ==
{{Osobny artykuł|metryka Hausdorffa}}
'''Odległością''' ('''odstępem''') punktu <math>x</math> od zbioru <math>A</math> nazywa się funkcję
: <math>\delta_A(x) = \inf \big\{d(x, a) : a \in A\big\}.</math>

== Równoważność metryk ==
=== Definicja ===
Niech <math>(X, d_1), (X, d_2)</math> będą przestrzeniami metrycznymi.

'''Df. 1''' Metryki <math>d_1, d_2</math> nazywa się '''równoważnymi''' '''topologicznie''', jeżeli [[Granica ciągu|granice dowolnych ciągów]] obliczone z użyciem tych metryk są identyczne<ref>Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 33.</ref>.

'''Df. 2''' Metryki <math>d_1, d_2</math> nazywa się '''równoważnymi lipschitzowsko''', jeżeli istnieją stałe <math>c,\, C\, > 0,</math> takie że dla każdego <math>x, y \in X</math> spełniony jest warunek
: <math>c \cdot d_1(x, y) \leqslant d_2(x, y) \leqslant C\cdot d_1(x, y).</math>

=== Twierdzenia o metrykach równoważnych ===
'''Tw. 1''' Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien [[ciąg (matematyka)|ciąg]] elementów zbioru <math>X</math> jest [[granica ciągu#Zbieżność|zbieżny]] w sensie metryki <math>d_1,</math> to jest także zbieżny w sensie metryki <math>d_2.</math>

'''Tw. 2''' W rzeczywistej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] skończonego [[wymiar (matematyka)|wymiaru]] wszystkie metryki indukowane przez [[przestrzeń Banacha|normy Banacha]] są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

'''Tw. 3''' Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

== Metryka niezmiennicza na przesunięcia ==
Metrykę <math>d</math> nazywa się '''niezmienniczą ze względu na przesunięcia''', jeśli na przestrzeni metrycznej <math>X</math> określone jest [[Działanie algebraiczne|działanie]] dodawania <math>+\colon X \times X \to X</math> i dla dowolnych punktów <math>a, x, y \in X</math> zachodzi warunek
: <math>d(x, y) = d(x + a, y + a).</math>

== Uogólnienia ==
Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:
* zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym
:: <math>d(a, a) = 0</math>
: uzyskuje się tzw. '''[[przestrzeń pseudometryczna|pseudometrykę]]'''.
* rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się '''quasi-metryką'''
* zastępując warunek trójkąta aksjomatem

:: <math>d(a, b) \leqslant \max \big\{d(a, c), d(c, b)\big\}</math> uzyskuje się funkcję nazywaną '''ultrametryką'''.

== Zobacz też ==
'''Inne typy metryk:'''
* [[Przestrzeń euklidesowa|metryka euklidesowa]]
* [[Metryka probabilistyczna|metryka pomiarowa]]
* [[metryka probabilistyczna]]
* [[Rozmaitość riemannowska|metryka riemannowska]]
* [[Odległość Czebyszewa|metryka Czebyszewa]]
* [[metryka Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera]]
* [[metryka Hausdorffa]]
* [[Odległość Mahalanobisa|metryka Mahalanobisa]]
* [[Odległość Minkowskiego|metryka Minkowskiego]]
* [[metryka Schwarzschilda]]
'''Pseudometryki:'''
* [[Rozmaitość pseudoriemannowska|pseudometryka pseudoriemannowska]]
'''Przestrzenie metryzowalne:'''
* [[przestrzeń topologiczna]]
* [[przestrzeń unormowana]]
* [[przestrzeń pseudometryczna]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Sierpiński|imię=Wacław|autor link=Wacław Sierpiński|tytuł=Wstęp do teorii mnogości i topologii|rok=1965|wydawca=[[Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne|Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych]]|miejsce=Warszawa|strony=131}}
* {{cytuj książkę|nazwisko=Engelking|imię=Ryszard|autor link=Ryszard Engelking|tytuł=Topologia ogólna|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]]|rok=1975|miejsce=Warszawa}}
* {{cytuj książkę|nazwisko=Kuratowski|imię=Kazimierz|autor link=Kazimierz Kuratowski|tytuł=Wstęp do teorii mnogości i topologii|wydanie=drugie, zmienione|miejsce=Warszawa|rok=1962|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]]}}
* Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009.
* Athanase Papadopoulos, ''Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature'', [[European Mathematical Society]], 2004, {{ISBN|978-3-03719-010-4}}.

{{Kontrola autorytatywna|WORLDCATID=}}

[[Kategoria:Przestrzeń metryczna| ]]