Tekst źródłowy strony Przestrzeń T1

'''Przestrzeń <math>T_1</math>''' – termin [[Topologia|topologiczny]] odnoszący się do jednego ze słabszych [[Aksjomaty oddzielania|aksjomatów oddzielania]]. Dawniej przestrzenie spełniające ten warunek były nazywane też '''przestrzeniami Frécheta''', ale wydaje się, że dzisiaj ta druga nazwa jest używana głównie w [[Przestrzeń Frécheta (topologia)|innym znaczeniu]].

== Definicja ==
Mówimy, że [[przestrzeń topologiczna]] <math>X</math> jest <math>T_1,</math> jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów <math>x, y</math> przestrzeni <math>X</math> istnieje taki zbiór otwarty <math>U \subseteq X,</math> że <math>x \in U,</math> ale <math>y \notin U.</math>

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń <math>X</math> jest przestrzenią <math>T_1</math> wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jednopunktowy podzbiór <math>X</math> jest [[zbiór domknięty|domknięty]].

== Przykłady i własności ==
* Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest <math>T_1,</math> zwykle przestrzenie nie będące <math>T_1</math> uważa się za „bardzo patologiczne”. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z naturalną topologią, [[przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]] i ogólniej [[przestrzeń metryczna|przestrzenie metryczne]]. Każda [[przestrzeń dyskretna]] jest <math>T_1;</math> w szczególności każda skończona przestrzeń <math>T_1</math> jest dyskretna.
* Każda [[Przestrzeń Hausdorffa|przestrzeń T<sub>2</sub>]] jest przestrzenią <math>T_1.</math>
* Istnieją przestrzenie <math>T_1,</math> które nie są <math>T_2.</math> Zbiór liczb rzeczywistych z ''topologią dopełnień skończonych'' (w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty <math>\emptyset</math> i zbiory, których dopełnienie jest skończone, np. <math>\mathbb R \setminus \{0\},</math> <math>\mathbb R \setminus \{1,2,3,4,5\}</math>) jest przestrzenią T<sub>1</sub>, ale nie T<sub>2</sub>; podobnie jest z analogicznie definiowaną [[Spektrum pierścienia|topologią Zariskiego]], czyli topologią dopełnień co najwyżej [[zbiór przeliczalny|przeliczalnych]].
* Każda przestrzeń <math>T_1</math> jest [[Przestrzeń T0|przestrzenią T<sub>0</sub>]], lecz istnieją przestrzenie <math>T_0,</math> które nie są <math>T_1.</math> Na przykład zbiór <math>X=\{a,b\}</math> wyposażony w topologię <math>\tau_0=\big\{\emptyset,X,\{a\}\big\}</math> ([[Przestrzeń dwupunktowa Aleksandrowa|przestrzeń 2-punktowa Aleksandrowa]]) jest przestrzenią <math>T_0,</math> ale nie <math>T_1.</math>
* Podzbiór przestrzeni <math>T_1</math> traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią <math>T_1.</math> Własność ''być przestrzenią <math>T_1</math>'' jest więc '''własnością dziedziczną'''.
* [[Iloczyn kartezjański]] (z [[Topologia produktowa|topologią Tichonowa]]) przestrzeni <math>T_1</math> jest przestrzenią <math>T_1.</math>

== Zobacz też ==
* [[aksjomaty oddzielania]]
* [[Przestrzeń T0|przestrzeń T<sub>0</sub>]]
* [[Przestrzeń Hausdorffa|przestrzeń T<sub>2</sub>]]

== Bibliografia ==
* [[Ryszard Engelking|Engelking Ryszard]], ''General Topology'', Helderman, Berlin 1989, {{ISBN|3-88538-006-4}}, s. 37.
* [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowski Kazimierz]], ''Topology'', Volume I, [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1966, s. 38, 51.

[[Kategoria:Aksjomaty oddzielania]]