Tekst źródłowy strony Przestrzeń Frécheta (topologia)

'''Przestrzeń Frécheta''' (także '''przestrzeń Frécheta-Uryshona''') – w [[Topologia|topologii ogólnej]], [[przestrzeń topologiczna]] <math>X</math> o tej własności, że dla każdego podzbioru <math>A\subseteq X,</math> punkt <math>x\in X</math> należy do [[domknięcie (topologia)|domknięcia]] zbioru <math>A</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu elementów zbioru <math>A,</math> tj. istnieje taki ciąg
: <math>x_1, x_2, x_3, \dots \in A,</math>

że
: <math>x=\lim_{n\to\infty} x_n</math>{{odn|Engelking|1976|s=78}}.

== Nazwa pojęcia ==
Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska francuskiego matematyka [[Maurice Fréchet|Maurice’a Frécheta]], który rozważał abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych. W matematyce istnieją także inne znaczenia terminu ''przestrzeń Frécheta'' (dawniej określano nim [[Przestrzeń T1|przestrzenie T<sub>1</sub>]]; w [[Analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]] termin ten funkcjonauje w kontekście [[przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)|pewnej klasy]] [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]]).

== Własności ==
* Każda przestrzeń spełniająca pierwszy [[Aksjomaty przeliczalności|aksjomat przeliczalności]] jest przestrzenią Frécheta{{odn|Engelking|1976|s=78}}.
* [[Topologia podprzestrzeni|Podprzestrzeń]] przestrzeni Frécheta jest przestrzenią Frécheta{{odn|Engelking|1976|s=102}}.
* [[Iloczyn kartezjański]] (z [[Topologia produktowa|topologią Tichonowa]]) przestrzeni Frécheta '''nie''' musi być przestrzenią Frécheta<ref>S. Franklin, [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm61/fm6115.pdf Spaces in which sequences suffice II], „[[Fundamenta Mathematicae|Fund. Math.]]” '''61''' (1967), s. 51–56.</ref>{{odn|Engelking|1976|s=122}}.
* Każde [[Relacja równoważności|przekształcenie ilorazowe]] <math>f\colon X\to Y</math> na przestrzeń Frécheta <math>Y,</math> w której każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę (a więc w szczególności na [[przestrzeń Hausdorffa|T<sub>2</sub>-przestrzeń]] Frécheta), jest [[Relacja równoważności|dziedzicznie ilorazowe]]{{odn|Engelking|1976|s=133}}.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Engelking |imię = Ryszard |autor link = Ryszard Engelking |tytuł = Topologia ogólna |url = |rok = 1976 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |strony = |wydanie = pierwsze}}

[[Kategoria:Topologia]]