Tekst źródłowy strony Pęd (fizyka)

'''Pęd''' – wektorowa [[wielkość fizyczna]] opisująca mechanikę, a więc ruch i oddziaływania [[Przedmiot fizyczny|obiektu fizycznego]]. Pęd mogą mieć wszystkie formy [[materia (fizyka)|materii]], np. [[Ciało (fizyka)|ciała]] o niezerowej [[Masa spoczynkowa|masie spoczynkowej]], [[pole elektromagnetyczne]], [[pole grawitacyjne]].

== Pęd w mechanice klasycznej ==
=== Pęd punktu materialnego ===
Pęd [[punkt materialny|punktu materialnego]] jest równy iloczynowi [[masa (fizyka)|masy]] <math>\;m\;</math> i [[prędkość|prędkości]] <math>\;\vec v\;</math> punktu. Pęd jest wielkością [[wektor]]ową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości
:: <math>\vec p=m \vec v.</math>

Ruch ciała, a tym samym i jego prędkość określana jest względem wybranego [[Układ odniesienia|układu odniesienia]], dlatego też pęd jest określany względem tego układu odniesienia.

W układzie [[układ SI|SI]] jednostka pędu nie ma odrębnej nazwy, a jest określana za pomocą innych jednostek, np. kilogram·metr/sekunda [kg·m/s] lub [[niuton]]·sekunda [N·s]. W języku polskim tę drugą jednostkę, N·s, nazywa się niutonosekundą<ref>{{Cytuj stronę |url = https://sjp.pwn.pl/sjp/niutonosekunda;2569201.html |tytuł = Niutonosekunda - Słownik języka polskiego |opublikowany = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Wydawnictwo Naukowe PWN SA]] |język = pl |data dostępu = 2013-12-12}}</ref>.

=== Zasada zachowania pędu ===
Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało [[siła|siły]] przez pewien [[czas]]. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest [[popęd (fizyka)|popędem]] siły (I)
:: <math>\vec {\Delta p}=\vec F \Delta t,</math>
:: <math>\vec I=\vec F \Delta t.</math>

Jeżeli w [[układ inercjalny|układzie inercjalnym]] na [[ciało (fizyka)|ciało]] (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub działające siły zewnętrzne równoważą się:
:: <math>\vec F = 0,</math>

to całkowity pęd ciała (układu ciał) nie zmienia się:
:: <math>\Delta \vec p = 0,</math>
:: <math>\vec p=\text{const}.</math>

Powyższe zdanie stanowi treść [[zasada zachowania pędu|zasady zachowania pędu]].
Zasada zachowania pędu jest konsekwencją symetrii translacji w przestrzeni ([[twierdzenie Noether]])
:: <math>\vec{x} \rightarrow \vec{x}'=\vec{x}+\vec{a}.</math>

Jeżeli [[energia potencjalna]] jest niezmiennicza ze względu na [[translacja (matematyka)|translację]],
:: <math>U(\vec{x}) = U(\vec{x}') = U(\vec{x}+\vec{a}) = U(\vec{x})+a^i \frac{\partial U}{\partial {x^i}}+\dots,</math>

to
:: <math>F^i = -\frac{\partial U}{\partial {x^i}}=0.</math>

czyli na ciało nie działa żadna siła i w konsekwencji pęd układu jest zachowany.

==== Przykłady zasady zachowania pędu ====
Wyskakując z łódki stojącej przy brzegu jeziora uzyskujemy pęd skierowany w stronę lądu. Równocześnie łódka – zgodnie z zasadą zachowania pędu – oddala się nieco od brzegu uzyskując pęd równy co do wartości, lecz przeciwnie skierowany. Wypadkowy pęd układu łódka-człowiek pozostaje nadal równy zeru.

Pocisk porusza się w powietrzu, w pewnej chwili pod wpływem wybuchu wewnątrz niego (sił wewnętrznych) ulega rozerwaniu. Ponieważ siły wewnętrzne nie zmieniają wypadkowego pędu układu, więc odłamki rozlatują się na wszystkie strony w ten sposób, że suma wektorowa pędów w chwili rozerwania jest równa pędowi pocisku tworzącego jeszcze całość. Pomijając zmiany oporu powietrza spowodowane zmianą kształtu i wielkości ciała, środek masy odłamków porusza się po takim samym torze, jak poruszał się pocisk.

Na zasadzie zachowania pędu opiera się działanie śruby [[okręt]]owej i śmigła [[samolot]]u. [[śruba okrętowa|Śruba]] odrzuca wodę do tyłu, statek uzyskuje pęd skierowany ku przodowi. Podobnie [[śmigło]] odrzuca do tyłu masy powietrza, a samolot przesuwa się naprzód.

Znane są zjawiska [[Odrzut broni|odrzutu]] podczas użycia [[Broń palna|broni palnej]]: dubeltówka czy karabin „uderzają” strzelca, broń „cofa się” przy wystrzale. Zjawisko odrzutu jest wykorzystywane w [[samolot odrzutowy|samolotach odrzutowych]] i [[rakieta]]ch. Zasada ich ruchu polega na tym, że w komorze wewnętrznej odbywa się spalanie mieszanki wybuchowej. Gazy z dużą prędkością, a więc i z dużym pędem, uchodzą przez dyszę w tylnej części silnika lub rakiety, które równocześnie uzyskują dodatkowy pęd równy co do wartości pędowi wyrzucanych gazów, lecz skierowany ku przodowi.

=== Pęd układu punktów materialnych ===
Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich punktów [[układ fizyczny|układu]]. Można łatwo udowodnić<ref>Patrz np. {{cytuj książkę |nazwisko=Rubinowicz |imię=Wojciech |nazwisko2=Królikowski |imię2=Wojciech |tytuł=Mechanika teoretyczna |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa |rok=1977 |wydanie=V |strony=106}}</ref>, że pęd układu jest równy całkowitej jego masie pomnożonej przez prędkość [[środek masy|środka masy]] układu.

Pęd układu punktów zmienia się tylko wtedy, gdy działa na nie siła zewnętrzna. Jeżeli układ rozpada się w wyniku działania sił wewnętrznych na części, suma pędów części jest równa pędowi układu przed rozpadem, podobnie przy łączeniu się części w układ. Zderzenie ciał możemy traktować jako złączenie i rozłączenie układu ciał.

Zasada ta umożliwia wyznaczenie masy lub prędkości i jest stosowana np. do:
* wyznaczania prędkości pocisków, przez wyznaczenie wychylenia klocka do którego wbija się pocisk,
* wyznaczania mas cząstek elementarnych na podstawie śladów (kątów) pod jakimi rozbiegają się produkty rozpadu,
* wyznaczania cząstkowych śladów rozpadu elementu.

Zmiana pędu układu punktów materialnych jest równa popędowi sumy sił zewnętrznych. Jednak w ogólnym przypadku, gdy siły zewnętrzne zależą od położeń i prędkości punktów układu, siły wewnętrzne mają wpływ na zmianę całkowitego pędu i przyspieszenie środka masy<ref>{{cytuj książkę|nazwisko=Olchowski|imię=I.I.|tytuł=Mechanika teoretyczna|wydawca=PWN|miejsce=Warszawa|data=1978|strony=90}}</ref>.

=== Pędy uogólnione – opis hamiltonowski ===
Ukoronowaniem klasycznej koncepcji pędu jest opis [[Hamiltonian|hamiltonowski]] mechaniki układu. Model układu zadaje się poprzez krok pośredni polegający na określeniu jego [[lagranżjan]]u. Jest to funkcja równa:
:: <math>L=T-U,</math>

gdzie:
: <math>T</math> – energia kinetyczna <math>\frac{mv^2}{2},</math>
: <math>U(q)</math> – [[energia potencjalna]].

Ogólniej lagranżjan konstruuje się posługując się informacjami o symetriach układu, stąd jego podstawowe w stosunku do hamiltonianu znaczenie. Następnie prowadzimy transformację Legendrea do hamiltonianu, polegającą na zmianie postaci funkcyjnej i zmiennych niezależnych. Lagranżjan jest funkcją współrzędnych <math>q</math> i ich pochodnych po czasie – prędkości – <math>\dot{q}.</math> Taki zestaw współrzędnych nazywamy współrzędnymi konfiguracyjnymi, gdyż opisują zachowanie się układu na [[Rozmaitość|rozmaitości]] dostępnych dla niego położeń – konfiguracji. [[Transformacja Legendre'a]] to wprowadzenie innych zmiennych niezależnych poprzez rozwikłanie równania:
:: <math>H(p, q) = p\cdot \dot{q} -L(q),</math>

gdzie:
: <math>p= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}</math> – pęd uogólniony.

W wyniku prostych obliczeń można pokazać, gdy spełnione są pewne warunki, że <math>H=T+U,</math> czyli hamiltonian jest funkcją równą całkowitej energii układu. Tak określone współrzędne noszą nazwę zmiennych kanonicznych, pędów i współrzędnych uogólnionych lub współrzędnych w [[przestrzeń fazowa|przestrzeni fazowej]] układu. Operacja ta odpowiada przejściu od przestrzeni konfiguracyjnej, czyli rozmaitości położeń układu, do [[Przestrzeń liniowa|wektorowej przestrzeni]] do niej [[przestrzeń styczna|stycznej]]. Warto wiedzieć, że nie zawsze przeprowadzenie takiej transformacji jest możliwe oraz że w wyniku nie zawsze dostaniemy <math>p=m\cdot v</math> choć dla układów bez [[więzy|więzów]] tak będzie.

Równania ruchu wyprowadzane w formalizmie Lagrange’a noszą nazwę równań Eulera-Lagrange’a, zaś w formalizmie Hamiltona – równań Hamiltona. Obydwa sposoby opisu są równoważne o ile możemy wykonać transformacje Legendre’a. Rozwiązania równań Hamiltona są łatwiejsze, gdyż mamy do czynienia z niezależnymi zmiennymi <math>(p, q),</math> inaczej niż w formalizmie Lagrange’a, gdzie zmiennymi są <math>q</math> i ich pochodne czasowe. Jednocześnie konstrukcja [[lagranżjan]]u wyprowadzona jest z zasad symetrii i jest na ogół prostsza niż wprowadzenie od razu gotowej postaci hamiltonianu. Dodatkowo w niektórych przypadkach możliwe staje się uwzględnienie więzów poprzez wprowadzenie [[Mnożniki Lagrange’a|mnożników Lagrange’a]]. Powodują one zmianę postaci funkcyjnej pędu (w stosunku do newtonowskiego <math>p=m\cdot v</math>) i zostają włączone w równania, co powoduje, że dalsze obliczenia na ogół są łatwiejsze do wykonania, a przynajmniej mniejsza jest liczba równań dzięki jawnej eliminacji równań więzów.

== Pęd w mechanice relatywistycznej ==
W mechanice relatywistycznej pęd swobodnej cząstki o masie spoczynkowej <math>m</math> poruszającej się z prędkością <math>\vec v</math> określony jest wzorem
:: <math>\vec{p}=\frac{m \vec{v}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=m(v)\vec{v},</math>

gdzie:
: <math>m(v)</math> – [[masa relatywistyczna]].

Między pędem i energią [[Cząstka|cząstki]] istnieje zależność:
:: <math>E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2,</math>

inaczej
:: <math>E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4,</math>

stąd pęd ciała poruszającego się z prędkością relatywistyczną można wyrazić wzorem
:: <math>p = \sqrt{\frac{E^2}{c^2} - m^2 c^2}.</math>

=== Pęd fotonu ===
Pęd [[foton]]u <math>p</math> jest określony wzorem
:: <math>p=h/\lambda</math>

lub równoważnie
:: <math>p=hf/c,</math>

gdzie:
: <math>h</math> – [[stała Plancka]].

Foton oddziałując z materią podczas odbicia, pochłonięcia czy emisji wpływa na pęd ciała, z którym oddziałuje.

== Pęd w mechanice kwantowej ==
W procesie [[kwant]]yzacji wielkościom mechanicznym fizyki klasycznej przyporządkowywane są właściwe dla [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]] [[Operator pędu|operatory]]. Z formalnego punktu widzenia istnieje pewna dowolność w wyborze konkretnego operatora. Dowolność tę ogranicza [[Zasada odpowiedniości|zasada korespondencji]] (jednak niektóre wielkości, np. [[spin (fizyka)|spin]], nie posiadają odpowiednika klasycznego). Wielkości kwantowe często wybiera się jako generatory [[grupa Liego|grup Liego]] odpowiadających im [[Symetria (fizyka)|symetrii]] układów fizycznych, zwłaszcza w wypadku gdy z daną symetrią można związać jakąś [[Prawa zachowania|zasadę zachowania]] (porównaj: [[Twierdzenie Noether]]).

=== Mechanika kwantowa nierelatywistyczna ===
Pęd kwantowy jest operatorem związanym z symetrią układu względem translacji
:: <math>x^i \rightarrow x'^i=x^i + a^i.</math>

Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji [[przestrzeń (fizyka)|przestrzennych]], czyli przekształceń postaci
:: <math>\psi(\vec{x}) \rightarrow \psi'(\vec{x})=T(\vec{a})\psi(\vec{x})=\psi(\vec{x}+\vec{a}),</math>

gdzie:
: <math>T</math> – operator translacji o wektor <math>a.</math>

Dla [[Nieskończenie małe|infinitezymalnych]] translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg:
:: <math>T\psi(\vec{x}) = \psi(\vec{x}+\vec{a}) = \psi(\vec{x}) +a^i \frac{\partial}{\partial x^i} \psi(\vec{x}) +\dots</math>

lub
:: <math>T\psi(\vec{x})=e^{\frac{i}{\hbar}P_i a^i}\psi(\vec{x}),</math>

gdzie:
:: <math>P_i= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x^i}</math>

jest operatorem pędu. Operator pędu jest generatorem [[translacja (matematyka)|translacji]] w przestrzeni dla ([[algebra Liego|algebry Liego]]) związanej z [[grupa Galileusza|grupą Galileusza]] mechaniki nierelatywistycznej.

Historycznie jako pierwszy postać operatora pędu zaproponował [[Erwin Schrödinger]], który jednak wyznaczył jego postać wychodząc od [[hamiltonian]]u dla cząstki swobodnej podczas konstruowania swojego słynnego [[równanie Schrödingera|równania Schrödingera]].

=== Mechanika kwantowa relatywistyczna ===
W czterowymiarowej [[czasoprzestrzeń Minkowskiego|czasoprzestrzeni Minkowskiego]] punkt posiada współrzędne <math>x^\mu=\{x^0=c t, x^1, x^2, x^3\}\ (\mu=0,1,2,3).</math>
Z symetrii układu fizycznego względem translacji w [[czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]]
:: <math>x^\mu \rightarrow x'^\mu=x^\mu + a^\mu.</math>

wynika prawo zachowania [[czterowektor]]a pędu <math>P^\mu.</math>

Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji przestrzennych, czyli przekształceń postaci
:: <math>\psi(x) \rightarrow \psi'(x)=T(a)\psi(x)=\psi(x+a),</math>

gdzie:
: <math>T</math> – operator translacji o czterowektor <math>a.</math>

Dla infinitezymalnych translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg:
:: <math>T\psi(x) = \psi(x+a) = \psi(x) +a^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi(\vec{x}) +\dots</math>

lub
:: <math>T\psi(x)=e^{\frac{i}{\hbar}P_\mu a^\mu}\psi(x)</math>

gdzie:
: <math>P_\mu= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x^\mu}= -i\hbar \partial_\mu</math> – operator pędu.

Operator pędu jest generatorem translacji w przestrzeni dla ([[algebra Liego|algebry Liego]]) związanej z [[Grupa Poincarégo|grupą Poincarégo]] mechaniki nierelatywistycznej. Konsekwencją tej symetrii jest istnienie globalnego niezmiennika Casimira
:: <math>C_1=P_\mu P^\mu= -\hbar^2 \partial_\mu\partial^\mu=\hbar^2 \Box.</math>

Wielkość ta jest jednocześnie mierzalna (komutuje) z wszystkimi innymi wielkościami fizycznymi opisującymi cząstkę swobodną. jej równanie własne
:: <math>C_1 \psi(x)=\hbar^2 \Box \psi(x)= \lambda \psi(x)</math>

daje [[równanie Kleina-Gordona]]
:: <math>(\Box -\frac{\lambda}{\hbar^2})\psi(x)=0</math>

z masą spoczynkową zdefiniowaną przez relację
:: <math>\lambda=(mc)^2.</math>

Wartości własne operatora Casimira <math>C_1</math> definiują [[masa spoczynkowa|masę spoczynkową]] cząstki. Formalnie λ jest liczbą rzeczywistą, może być dodatnia, ujemna lub zero. Klasyfikuje to odpowiednio cząstki na [[tardion]]y (cząstki ciężkie) poruszające się z prędkością mniejszą niż prędkość światła w próżni, [[tachion]]y, poruszające się z prędkością większą niż prędkość światła w próżni i [[lukson]]y poruszające się w próżni stale z prędkością światła. Z tego równania własnego (z [[równanie Kleina-Gordona|równania Kleina-Gordona]] czy [[równanie Diraca|równania Diraca]]) wynika relatywistyczna zależność między energią i pędem
:: <math>\frac{E^2}{c^2}=p^2+m^2 c^2.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Mechanika klasyczna}}

[[Kategoria:Dynamika]]
[[Kategoria:Wielkości fizyczne]]
[[Kategoria:Całki ruchu]]