Tekst źródłowy strony Operator Laplace’a

'''Operator Laplace’a (laplasjan)''' – [[operator różniczkowy]] drugiego rzędu, wprowadzony przez [[Pierre Simon de Laplace|Pierre’a Simona de Laplace’a]]. W [[Układ współrzędnych kartezjańskich|układzie kartezjańskim]] 3-wymiarowym ma postać
: <math>\triangle \equiv \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}.</math>

Operator ten uogólnia się na [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]] <math>n</math>-wymiarowe z dowolnymi układami [[Współrzędne krzywoliniowe|współrzędnych krzywoliniowych]] (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne [[Rozmaitość riemannowska|przestrzenie riemannowskie]] i [[Rozmaitość pseudoriemannowska|pseudoriemannowskie]].

{{wikisłownik|laplasjan}}

== Zastosowania ==
'''(1)''' Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.
* w [[Równanie przewodnictwa cieplnego|równaniu przewodnictwa cieplnego]]
* w [[równanie falowe|równaniu falowym]]
* jako część [[operator Hamiltona|hamiltonianu]]
* jako przestrzenna składowa [[Operator d’Alemberta|operatora d’Alemberta]]

'''(2)''' W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem [[proces Wienera|procesu Wienera]].

== Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie ==
Definicja operatora Laplace’a w <math>n</math>-wymiarowym [[Układ współrzędnych kartezjańskich|układzie kartezjańskim]]
: <math>\triangle \equiv \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \dots +\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}.</math>

== Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe ==
'''(1)''' Operator Laplace’a w <math>n</math>-wymiarowym '''ortogonalnym''' [[Współrzędne krzywoliniowe|krzywoliniowym układzie współrzędnych]] ma postać
: <math>\triangle = \frac{1}{h_1, h_2,\dots, h_n} \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\frac{h_1, h_2,\dots, h_n}{h_i^2}\frac{\partial}{\partial q^i}\right),</math>

gdzie:
* <math>q_i, i=1,\dots,n</math> – współrzędne krzywoliniowe,
* <math>h_i</math> – [[Współrzędne krzywoliniowe#Przykład: Baza ortonormalna wektorów kontrawariantnych|współczynniki Lamego]], tj.
* <math>h_i=\sqrt{g_{ii}},</math>

gdzie:
* <math>g_{ii}</math> – wyrazy diagonalne '''[[Tensor|kowariantnego]]''' [[Tensor metryczny|tensora metrycznego]] we współrzędnych krzywoliniowych.

Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną <math>\frac{\partial}{\partial q^i}</math> w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.

'''(2)''' W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy
: <math>\triangle = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{h_1 h_2 h_3}{h_i^2}\frac{\partial}{\partial q_i}\right),</math>

czyli
: <math>\triangle
= \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{h_2 h_3}{h_1}\frac{\partial}{\partial q_1}\right)
+ \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{h_1 h_3}{h_2 }\frac{\partial}{\partial q_2}\right)
+ \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{h_1 h_2}{h_3}\frac{\partial}{\partial q_3}\right)\right].</math>

=== Współrzędne sferyczne ===
Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w [[Układ współrzędnych sferycznych|układzie współrzędnych sferycznych]] <math>r, \theta, \varphi</math>
: <math>\triangle=\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}
+ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\right)</math>

lub
: <math>\triangle=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r
+ \frac{1}{r^2}\left(\operatorname{ctg}\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
+ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\right).</math>

=== Współrzędne walcowe ===
Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w [[Układ współrzędnych walcowych|układzie współrzędnych walcowych]] <math>\rho, \theta, z</math>
: <math>\Delta
= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial}{\partial \rho} \right)
+ \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>

== Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru ==
Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.

Współrzędne sferyczne <math>(r, \theta, \phi)</math> są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi <math>x,y,z</math> za pomocą zależności
: <math>\begin{cases}
x = r\sin \theta \cos \phi \\
y = r\sin \theta \sin \phi \\
z = r\cos \theta
\end{cases}</math>

Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: [[Tensor metryczny#Przykłady tensorów metrycznych|tensor metryczny- przykłady]])
: <math>g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta
\end{pmatrix}</math>

zatem współczynniki Lamego są następujące
: <math>\begin{cases}
h_1=1 \\
h_2 = r \\
h_3 = r\sin\theta
\end{cases}</math>

Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w <math>3</math>-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór
: <math>\triangle
= \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}
+ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\right)</math>

== Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe ==
Operator Laplace’a w <math>n</math>-wymiarowym [[Współrzędne krzywoliniowe|krzywoliniowym układzie współrzędnych]] <math>q^1,\dots, q^n</math> ma postać

'''(1)''' ogólny wzór
: <math>\nabla^2 = \nabla q^m \cdot \nabla q^n \frac{\partial^2}{\partial q^m \partial q^n} + \nabla^2 q^m \frac{\partial}{\partial q^m }.</math>

'''(2)''' z użyciem symboli <math>\Gamma^l_{mn}</math>
: <math>\nabla^2= g^{mn} \left(\frac{\partial^2}{\partial q^m \partial q^n} - \Gamma^l_{mn}\frac{\partial}{\partial q^l} \right),</math>

gdzie:
: <math>g^{mn}</math> – odwrotny tensor metryczny,
: <math>\Gamma^l_{mn}</math> – [[symbole Christoffela]] układu krzywoliniowego.

'''(3)''' z użyciem odwrotnego tensora metrycznego <math>g^{ij}</math>
: <math>\nabla^2 = \frac1{\sqrt{|\det g|}}\frac{\partial}{\partial q^i} \left( \sqrt{|\det g|}\,g^{ij} \frac{\partial}{\partial q^j}\right),</math>

gdzie:
: <math>\det g</math> – wyznacznik tensora metrycznego.

(patrz równanie [https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=59087 Voss]-[[Hermann Weyl|Weyla]] dotyczące [[Dywergencja|dywergencji]])

== Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją ==
Słuszne są następujące twierdzenia:

'''Tw. 1''' Laplasjan funkcji skalarnej <math>f</math> jest równy [[dywergencja|dywergencji]] z [[Gradient (matematyka)|gradientu]] tej funkcji
: <math>\triangle f = \operatorname{div}\ (\operatorname{grad}\ f)</math>

lub równoważnie
: <math>\Delta f \equiv \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla f.</math>

'''Tw. 2''' Laplasjan funkcji wektorowej <math>\vec F</math> wyraża się przez operatory gradientu i [[Rotacja|rotacji]]
: <math>\triangle \vec F = \operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec F) - {\operatorname{rot}}(\operatorname{rot} \vec F)</math>

lub równoważnie
: <math>\Delta \vec F = \nabla(\nabla\cdot \vec F) - \nabla \times (\nabla \times \vec F).</math>

'''Tw. 3''' Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru
: <math>\Delta (fg) = f \Delta (g) + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta (f)</math>

lub równoważnie
: <math>\nabla^2 (fg) = f \,\,\nabla^2 \! g + 2 \,\nabla f \cdot \nabla g + g \,\,\nabla^2 \! f.</math>

== Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową ==
Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci
: <math>\vec F=[F_1,\dots,F_n]\equiv\sum_{k=1}^n F_k \,\hat e_k</math>

tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości <math>\triangle F_k</math> obliczone z funkcji współrzędnych <math>F_k</math> tej funkcji wektorowej, tj.
: <math>\triangle \vec F = [\Delta F_1,\dots,\Delta F_n]</math>

lub równoważnie
: <math>\triangle \vec F = \sum_{k=1}^n (\triangle F_k) \hat e_k.</math>

W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.

== Zobacz też ==
* [[zagadnienie własne dla operatora Laplace’a]]

'''Operatory różniczkowe'''

('''1''') Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego
* [[czterowektor]] (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów)
* [[czterogradient]]
*[[operator d’Alemberta]]

('''2''') Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej
* [[dywergencja]]
* [[Gradient (matematyka)|gradient]]
* [[operator nabla]]
* [[operator nabla w różnych układach współrzędnych]]
* [[rotacja]]

('''3''') Operatory różniczkowe w n-wymiarowej [[Rozmaitość pseudoriemannowska|rozmaitości pseudoriemannowskiej]]
* [[dywergencja]] [[Gradient#Uogólnienie na rozmaitości riemannowskie|na rozmaitości]]
* [[Gradient (matematyka)#Uogólnienie na rozmaitości riemannowskie|gradient na rozmaitości]]
* [[Operator Laplace’a#Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe|operator Laplace’a]] [[Gradient (matematyka)#Uogólnienie na rozmaitości riemannowskie|na rozmaitości]]

== Bibliografia ==
* F.W. Byron, R.W. Fuller, ''Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej'', PWN, Warszawa 1975, Tom 1.

{{Operatory różniczkowe}}

{{Kontrola autorytatywna|WORLDCATID=}}

[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
[[Kategoria:Fizyka matematyczna]]