Tekst źródłowy strony Obraz i przeciwobraz

{{Funkcje matematyczne}}
'''Obraz''' – [[zbiór]] wszystkich wartości (należących do [[funkcja|przeciwdziedziny]]) przyjmowanych przez [[funkcja|funkcję]] dla każdego elementu danego [[podzbiór|podzbioru]] jej [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]].
'''Przeciwobraz''' – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich [[relacja dwuargumentowa|relacji dwuargumentowych]].

== Definicja ==
Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej <math>f \colon X \to Y</math> oznacza [[funkcja|funkcję]] (w szczególności, np. w algebrze liniowej, [[operator]]) ze zbioru <math>X</math> w zbiór <math>Y.</math>

=== Obraz elementu ===
: Jeżeli <math>x</math> jest elementem <math>X,</math> to <math>f(x) = y,</math> czyli wartość funkcji <math>f</math> na elemencie <math>x,</math> nazywa się '''obrazem''' <math>x</math> poprzez <math>f.</math>

=== Obraz zbioru ===
: Obrazem zbioru <math>A \subseteq X</math> w funkcji <math>f</math> nazywa się podzbiór <math>f[A] \subseteq Y</math> wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
:: <math>\left\{y \in Y\colon f(x) = y \text{ dla pewnego } x \in A\right\} = \left\{f(x) \in Y\colon x \in A\right\}.</math>
: Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast <math>f[A]</math> pisze się <math>f(A).</math> Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez <math>f</math> jako funkcji, której dziedziną jest [[zbiór potęgowy]] (wszystkie podzbiory) zbioru <math>X,</math> a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru <math>Y.</math>

=== Obraz funkcji ===
[[Plik:Codomain2.SVG|thumb|upright=1.5|''f'' jest funkcją o dziedzinie ''X'' i przeciwdziedzinie ''Y''. Żółty owal w ''Y'' jest obrazem funkcji ''f''.]]
: Obraz <math>f[X]</math> całej dziedziny <math>X</math> nazywa się zwykle '''obrazem funkcji''' <math>f.</math> Do innych oznaczeń należą również <math>f(X)</math> (j.w.), <math>\operatorname{im}(f)</math> (ang. ''image'' – obraz).

=== Przeciwobraz ===
: Przeciwobrazem zbioru <math>B \subseteq Y</math> względem <math>f</math> nazywa się podzbiór zbioru <math>X</math> określony wzorem
: <math>f^{-1}[B] = \{x \in X\colon f(x) \in B\}.</math>

: Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem <math>f^{-1}[\scriptstyle\{y\}\textstyle]</math> lub <math>f^{-1}[y],</math> nazywa się '''włóknem''' nad <math>y</math> lub '''[[poziomica (matematyka)|poziomicą]]''' lub '''warstwicą''' <math>y.</math>
: Zbiór wszystkich włókien nad elementami <math>Y</math> tworzy [[rodzina indeksowana|rodzinę zbiorów indeksowaną]] przez <math>Y.</math> Prowadzi to do pojęcia [[kategoria rozwłóknień|kategorii rozwłóknień]].

: Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to <math>f^{-1}[B]</math> można oznaczać symbolem <math>f^{-1}(B)</math> i myśleć o <math>f^{-1}</math> jako o funkcji ze zbioru potęgowego <math>Y</math> w zbiór potęgowy <math>X.</math> Oznaczenie <math>f^{-1}</math> może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia [[funkcja odwrotna|funkcji odwrotnej]], które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f</math> jest [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]].

== Notacja ==
Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą<ref>Blyth 2005, s. 5.</ref> może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:
; Notacja strzałkowa
: <math>f^\to\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y),</math> gdzie <math>f^\to(A) = \{f(a)\colon a \in A\},</math>
: <math>f^\leftarrow\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X),</math> gdzie <math>f^\leftarrow(B) = \{a \in X\colon f(a) \in B\}.</math>

; Notacja gwiazdkowa
: <math>f_\star\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)</math> zamiast <math>f^\to,</math>
: <math>f^\star\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)</math> zamiast <math>f^\leftarrow.</math>

; Inne
: Alternatywną notacją <math>f[A]</math> wykorzystywaną m.in. w [[logika matematyczna|logice matematycznej]] i [[teoria mnogości|teorii mnogości]] jest <math>f'' A.</math>
: W niektórych pracach obraz <math>f</math> nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji <math>f</math> postaci <math>\operatorname{rg}(f)</math> bądź <math>\operatorname{ran}(f)</math> (ang. ''range'' – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

== Przykłady ==
[[Plik:Jung200.png|thumb|Brzeg [[zbiór Mandelbrota|zbioru Mandelbrota]] jako obraz [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]] względem [[promień zewnętrzny|odwzorowania <math>\Psi_M.</math>]]]]
[[Plik:Circle2cardioid.png|thumb|[[Kardioida]] jako obraz [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]].]]
[[Plik:Circle2heart.png|thumb|Krzywa sercowa jako obraz [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]].]]
* <math>f\colon \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c, d\}</math> określona wzorem <math>f(x) = \begin{cases} a & \text{dla } x = 1, 2 \\ c & \text{dla } x = 3. \end{cases}</math>
*: ''Obrazem'' zbioru <math>\{2, 3\}</math> poprzez <math>f</math> jest <math>f[\scriptstyle\{2, 3\}\textstyle] = \{a, c\}.</math> ''Obrazem'' funkcji jest <math>\{a, c\}.</math> ''Przeciwobrazem'' <math>a</math> jest <math>f^{-1}[a] = \{1, 2\}.</math> Przeciwobrazem <math>\{a, b\}</math> również jest <math>\{1, 2\}.</math> Przeciwobrazem <math>\{b, d\}</math> jest [[zbiór pusty]] <math>\{\}.</math>
* <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> dana wzorem <math>f(x) = x^2.</math>
*: ''Obrazem'' <math>\{-2, 3\}</math> w <math>f</math> jest <math>f[\scriptstyle\{-2, 3\}\textstyle] = \{4, 9\},</math> a ''obrazem'' <math>f</math> jest <math>\mathbb R^+.</math> ''Przeciwobraz'' <math>\{4, 9\}</math> w <math>f</math> to <math>f^{-1}[\scriptstyle\{4, 9\}\textstyle] = \{-3, -2, 2, 3\}.</math> Przeciwobrazem zbioru <math>N = \{n \in \mathbb R\colon n < 0\}</math> w <math>f</math> jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają [[Pierwiastkowanie|pierwiastków kwadratowych]] w zbiorze [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]].
* <math>f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R</math> dana wzorem <math>f(x, y) = x^2 + y^2.</math>
*: ''Włóknami'' (poziomicami) <math>f^{-1}[a]</math> są [[okrąg|okręgi]] o [[współśrodkowość|wspólnym środku]] w [[początek (matematyka)|początku]] [[układ współrzędnych|układu współrzędnych]], sam początek i [[zbiór pusty]], w zależności od wartości parametru <math>a,</math> odpowiednio: <math>a > 0,</math> <math>a = 0</math> oraz <math>a < 0.</math>
* Jeżeli <math>M</math> jest [[rozmaitość|rozmaitością]], a <math>\pi\colon \operatorname TM \to M</math> jest [[relacja równoważności#Rzutowanie|rzutem]] kanonicznym [[wiązka styczna|wiązki stycznej]] <math>\operatorname TM</math> na <math>M,</math> to [[przestrzeń styczna|przestrzenie styczne]] <math>\operatorname T_x(M)</math> dla <math>x \in M.</math> Jest to przykład [[wiązka włóknista|wiązki włóknistej]].

== Własności ==
Niech dana będzie funkcja <math>f\colon X \to Y.</math> Dla wszystkich podzbiorów <math>A, A_1, A_2 \subseteq X</math> oraz <math>B, B_1, B_2 \subseteq Y</math> zachodzą następujące własności:
* obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny,
*: <math>f[A] \subseteq Y</math> oraz <math>f^{-1}[B] \subseteq X;</math>
* działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:
*: <math>f[f^{-1}[B]\textstyle] \subseteq B</math> (równość dla [[funkcja „na”|funkcji „na”]]),
*: <math>f^{-1}[f[A]\textstyle] \supseteq A</math> (równość dla [[funkcja różnowartościowa|funkcji różnowartościowej]]),
*: <math>f[A] \subseteq B \Leftrightarrow A \subseteq f^{-1}[B];</math>
* operacje obrazu i przeciwobrazu są [[funkcja monotoniczna|monotoniczne]], tzn.
*: <math>A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow f\left[A_1\right] \subseteq f\left[A_2\right]</math> oraz
*: <math>B_1 \subseteq B_2 \Rightarrow f^{-1}\left[B_1\right] \subseteq f^{-1}\left[B_2\right];</math>
* prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania [[suma zbiorów|sumy]] i [[Część wspólna|przekroju]] zbiorów:
*: <math>f[A \cup B] = f[A] \cup f[B],</math>
*: <math>f[A \cap B] \subseteq f[A] \cap f[B]</math> (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa),
*: <math>f^{-1}[A \cup B] = f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B],</math>
*: <math>f^{-1}[A \cap B] = f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B];</math>
* zachodzi również następujący związek z braniem [[dopełnienie zbioru|dopełnienia]] zbioru:
*: <math>f^{-1}\left[B^{\operatorname c}\right] = (f^{-1}[B])^{\operatorname c},</math>
* z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z [[różnica zbiorów|różnicą zbiorów]]:
*: <math>f\left[A \setminus B\right] \supseteq f[A] \setminus f[B],</math>
*: <math>f^{-1}\left[A \setminus B\right] = f^{-1}[A] \setminus f^{-1}[B],</math>
* istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z [[funkcja#Zawężenie|zawężeniem]] funkcji:
*: <math>(f|_A)^{-1}[B] = A \cap f^{-1}[B].</math>

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą ([[algebra Boole’a|Boole’a]]) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez [[indukcja matematyczna|indukcję]] – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech <math>(A_i)_{i \in I}</math> będzie [[rodzina indeksowana|rodziną indeksowaną]] podzbiorów <math>X,</math> a <math>(B_j)_{j \in J}</math> będzie rodziną indeksowaną podzbiorów <math>Y.</math> Wówczas
* <math>f\left[\bigcup A_i\right] = \bigcup f\left[A_i\right],</math>
* <math>f\left[\bigcap A_i\right] \subseteq \bigcap f\left[A_i\right]</math>

oraz
* <math>f^{-1}\left[\bigcup B_j\right] = \bigcup f^{-1}\left[B_j\right],</math>
* <math>f^{-1}\left[\bigcap B_j\right] = \bigcap f^{-1}\left[B_j\right].</math>

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest [[Krata (matematyka)|homomorfizmem krat]], zaś funkcja obrazu jest tylko [[Krata (matematyka)|homomorfizmem półkrat]] (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru <math>B \subset Y</math> względem [[złożenie funkcji|złożenia]] <math>g \circ f \colon X \to Z</math> dwóch funkcji <math>f \colon X \to Y</math> oraz <math>g \colon Y \to Z</math> dany jest wzorem:
* <math>(g \circ f)^{-1}[B] = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)[B].</math>

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. <math>|f[A]| \leqslant |A|,</math> a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych). Analogicznie jest z przeciwobrazem: <math>|f^{-1}[B]| \geqslant |B|</math> i równość zachodzi pod tym samym warunkiem{{fakt}}.

== Zobacz też ==
* [[Dziedzina (matematyka)|dziedzina]], [[Funkcja|przeciwdziedzina]]
* [[jądro (teoria mnogości)|jądro funkcji]]
* [[obraz (teoria kategorii)|obraz]] w teorii kategorii

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |autor link = Michael Artin |nazwisko = Artin |imię = Michael |tytuł = Algebra |wydanie = |rok = 1991 |wydawca = Prentice Hall |isbn= 81-203-0871-9}}
* {{Cytuj|autor = Thomas Scott Blyth |tytuł = Lattices and Ordered Algebraic Structures |data = 2005 |isbn = 1-85233-905-5 |miejsce = London |wydawca = Springer |oclc = 262677746}}
* {{planetmath|id=3276|tytuł=Fibre}}

[[Kategoria:Funkcje matematyczne| ]]