Tekst źródłowy strony Funkcja

{{Inne znaczenia|pojęcia matematycznego|[[funkcja (ujednoznacznienie)|inne znaczenia słowa „funkcja”]]}}
{{Spis treści}}
{{Funkcje matematyczne}}
'''Funkcja''' ({{w języku|la|functio, -onis}} „odbywanie, wykonywanie, czynność”<ref group=uwaga>Od {{k|la|fungor, functus sum, fungi}} „wykonać, wypełnić, zwolnić”.</ref>) – dla danych dwóch [[zbiór|zbiorów]] <math>X</math> i <math>Y</math> przyporządkowanie<ref group=uwaga>W ''Słowniku języka polskiego'', PWN, 1996: ''ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...''</ref> każdemu elementowi zbioru <math>X</math> dokładnie jednego elementu zbioru <math>Y</math>{{odn|Kołmogorow|Fomin|1989|s=21}}. Oznacza się ją na ogół <math>f, g, h</math> itd.

Jeśli funkcja <math>f</math> przyporządkowuje elementom zbioru <math>X</math> elementy zbioru <math>Y,</math> to zapisujemy to następująco:
: <math>f\colon X \to Y.</math>

Zbiór <math>X</math> nazywa się '''dziedziną''', a zbiór <math>Y</math> – '''przeciwdziedziną''' funkcji <math>f.</math> Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru <math>X</math> do zbioru <math>Y</math> oznacza się często <math>Y^X</math>{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=73}}.
Ponadto:
* ''dziedzinę'' czasami nazywa się '''zbiorem argumentów''' funkcji ''f''{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=73}},
* ''przeciwdziedzinę'' nazywa się czasem '''zbiorem wartości''' funkcji{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=73}}, chociaż właściwszym stwierdzeniem jest: ''przeciwdziedzina'' zawiera w sobie '''zbiór wartości funkcji''',
* każdy element <math>x</math> zbioru <math>X</math> nazywa się '''argumentem''' funkcji{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=73}},
* każdy element <math>y = f(x)</math> nazywa się '''wartością''' funkcji{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=73}},
* mówi się także, że <math>f</math> jest '''przekształceniem''' lub '''odwzorowaniem''' zbioru <math>X</math> w zbiór <math>Y</math>{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=73}},
* zbiór <math>f(A) = \{y = f(x)\colon x \in A \}</math> jest '''obrazem''' podzbioru <math>A</math> zbioru <math>X</math> w przekształceniu <math>f</math>{{odn|Kołmogorow|Fomin|1989|s=21}},
* dla każdego elementu <math>b \in f(X)</math> '''przeciwobrazem''' elementu <math>b</math> (dokładniej '''pełnym przeciwobrazem''') nazywamy zbiór <math>f^{-1}(b) = \{a \in X\colon f(a) = b\};</math> jeśli <math>b \notin f(X),</math> to <math>f^{-1}(b) = \varnothing</math>{{odn|Kołmogorow|Fomin|1989|s=21}}.
* '''przeciwobrazem''' podzbioru <math>B \subset Y</math> nazywamy zbiór <math>f^{-1}(B) = \{a \in X\colon f(a) \in B\};</math> jeżeli <math>B \cap f(X) = \varnothing,</math> to <math>f^{-1}(B) = \varnothing</math>{{odn|Kołmogorow|Fomin|1989|s=22}}

== Wykres funkcji ==
{{Osobny artykuł|wykres funkcji}}
'''Wykresem funkcji''' <math>f\colon X \to Y</math> nazywa się zbiór <math>W_f = \{(x, y) \in X \times Y: y = f(x)\}.</math> Z definicji funkcji wynika, że dla każdego <math>x_0 \in X</math> istnieje dokładnie jeden taki <math>y_0 \in Y,</math> że <math>(x_0, y_0) \in W_f.</math> Jeśli <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> jest [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]], to jej wykres jest [[krzywa|krzywą]] w [[układ współrzędnych|układzie współrzędnych]] na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli <math>(x_0, y_0) \in W_f,</math> to <math>y_0 = f(x_0),</math> przy czym <math>y_0</math> jest jedynym takim elementem.

=== Definicja Peana funkcji (za pomocą wykresu) ===
W [[teoria mnogości|teorii mnogości]] często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peana{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=73}}:
: [[Relacja (matematyka)|Relacja]] <math>R \subset X \times Y</math> jest '''funkcją'''<ref>G. Peano, ''Sulla definizione di funzione'', Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3–5.</ref>, jeśli:
: <math>\forall_{x \in X} \exist_{y \in Y} x R y</math><ref group=uwaga>Zarówno Peano, jak Kuratowski z Mostowskim w swojej, cytowanej powyżej, książce nie podawali tego warunku. [[Funkcja częściowa|Funkcję częściową]] uznawali więc za rodzaj funkcji.</ref>,
: <math>\forall_{x \in X, y_1, y_2 \in Y} [x R y_1 \wedge x R y_2 \Rightarrow (y_1 = y_2)].</math>

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

== Funkcje liczbowe ==
Ważną klasą funkcji są funkcje
: <math>f \colon X \to \mathbb{C}</math> (zbiór <math>\mathbb{C}</math> jest [[liczby zespolone|zbiorem liczb zespolonych]])

nazywane '''funkcjami o wartościach liczbowych'''{{odn|Winogradow|1985|s=715}}.

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze <math>X</math> można zdefiniować działania arytmetyczne:
* Dla <math>f, g \colon X \to Y</math> funkcja <math>f + g</math> przyjmuje dla każdego <math>x \in X</math> wartość <math>f(x) + g(x).</math>
* Dla <math>f, g \colon X \to Y</math> funkcja <math>f - g</math> przyjmuje dla każdego <math>x \in X</math> wartość <math>f(x) - g(x).</math>
* Dla <math>f, g \colon X \to Y</math> funkcja <math>f \cdot g</math> przyjmuje dla każdego <math>x \in X</math> wartość <math>f(x) \cdot g(x).</math>
* Dla <math>f, g \colon X \to Y</math> i <math>\forall_{x \in X} g(x) \neq 0</math> funkcja <math>f/g</math> przyjmuje dla każdego <math>x \in X</math> wartość <math>f(x)/g(x).</math>
* Dla <math>f \colon X \to Y</math> i <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> funkcja <math>\lambda \cdot f</math> przyjmuje dla każdego <math>x \in X</math> wartość <math>\lambda \cdot f(x).</math>

Funkcja <math>f</math> jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia <math>M,</math> że dla każdego <math>x \in X</math> spełniona jest nierówność <math>|f(x)| < M.</math>

Jeśli funkcja liczbowa <math>f</math> przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste
: <math>f \colon X \to \mathbb{R},</math>

to nazywa się ją '''funkcją o wartościach rzeczywistych'''{{odn|Winogradow|1985|s=715}}.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

'''Funkcjami liczbowymi''' nazywamy:
: <math>f \colon X \to \mathbb{C},</math> gdzie <math>X \subset \mathbb{C}</math> (jest to '''funkcja zespolona''')
: <math>f \colon X \to \mathbb{R},</math> gdzie <math>X \subset \mathbb{R}</math> (jest to '''funkcja rzeczywista'''){{odn|Winogradow|1985|s=716}}

Można także mówić o '''funkcjach liczbowych wielu zmiennych''' (rzeczywistych lub zespolonych):
: <math>f \colon X \to \mathbb{C},</math> gdzie <math>X \subset \mathbb{C}^n = \underbrace{\mathbb{C} \times \ldots \times \mathbb{C}}_n,</math>
: <math>f \colon X \to \mathbb{R},</math> gdzie <math>X \subset \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R} \times \ldots \times \mathbb{R}}_n,</math>

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:
: <math>y = f (x_1, x_2, ..., x_n),</math> gdzie <math>x_1, ..., x_n</math> są współrzędnymi punktu w <math>\mathbb{R}^n</math> lub odpowiednio w <math>\mathbb{C}^n.</math>

=== Rodzaje funkcji liczbowych ===
{{Zobacz też|funkcje elementarne|funkcje specjalne|przebieg zmienności funkcji|granica funkcji}}
* [[funkcja monotoniczna|funkcja rosnąca]];
* [[funkcja monotoniczna|funkcja malejąca]];
* [[funkcja monotoniczna|funkcja nierosnąca]];
* [[funkcja monotoniczna|funkcja niemalejąca]];
* [[funkcja monotoniczna]] – funkcja rosnąca lub funkcja malejąca, lub funkcja nierosnąca, lub funkcja niemalejąca;
* [[funkcja ograniczona|funkcje ograniczone]] – funkcja, której zbiór wartości jest [[zbiór ograniczony|ograniczony]];
* [[funkcje parzyste i nieparzyste|funkcja parzysta]] – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;
* [[funkcje parzyste i nieparzyste|funkcja nieparzysta]] – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku [[układ współrzędnych|układu współrzędnych]];
* [[funkcja okresowa]];
* [[funkcja ciągła]];
* [[funkcja różniczkowalna]] – funkcja, dla której istnieje [[pochodna funkcji|pochodna]] w każdym punkcie jej dziedziny.

== Sposoby określania funkcji ==
[[Plik:Function illustration.svg|mały|Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru <math>X</math> przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru <math>Y.</math> Dwóm różnym elementom w <math>X</math> może odpowiadać ten sam element <math>Y.</math> Nie każdy element zbioru <math>Y</math> musi być wartością funkcji.]]
Jeżeli dziedzina <math>X</math> jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą [[graf (matematyka)|grafu]] (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób '''analityczny'''. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji ([[wielomian]]y, [[funkcje elementarne]] itp.), działania algebraiczne, [[złożenie funkcji]] i operację przejścia do granicy (w tym operacje [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]], takie jak [[pochodna funkcji|różniczkowanie]], [[Całka|całkowanie]] i sumowanie szeregów){{odn|Winogradow|1985|s=716}}.

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego [[Wzór Taylora|szeregiem Taylora]].

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako <math>y = f(x)</math> lub jako tak zwaną [[funkcja uwikłana|funkcję uwikłaną]], tzn. za pomocą równania <math>F(x, y) = 0</math>{{odn|Winogradow|1985|s=716}}.

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:
: <math>f(x) = \begin{cases}
3^x, & \text{gdy } x > 0 \\
0, & \text{gdy } x = 0 \\
2x - 1 & \text{gdy } x < 0
\end{cases}.</math>

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład [[funkcja Dirichleta]] jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję ''sgn'' (''x'') można określić w taki sposób:
: <math>sgn(x) = \begin{cases}
1, & \text{gdy } x > 0 \\
0, & \text{gdy } x = 0 \\
- 1 & \text{gdy } x < 0
\end{cases},</math>

albo w taki:
: <math>sgn(x) = \begin{cases}
\frac{x}{|x|}, & \text{gdy } x \ne 0 \\
0, & \text{gdy } x = 0
\end{cases}.</math>

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane{{odn|Winogradow|1985|s=717}}.

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> w przypadku [[funkcja ciągła|funkcji ciągłej]] jest [[krzywa|krzywą]] na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]]{{odn|Winogradow|1985|s=717}}.

=== Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru ===
* <math>y = ax + b</math> – funkcja liniowa
* <math>y = ax^2 + bx + c</math> – funkcja kwadratowa
* <math>y = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n</math> – funkcja wielomianowa
* <math>y = 1 + \sqrt{\ln {\sin {2 \pi x}}}</math>
* <math>P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n (x^2 - 1)^n}{dx^n}</math>
* <math>I (\alpha, \beta) = \int_0^{+ \infty} e^{- \alpha x} \frac{\sin \beta x}{x}dx</math>
* <math>\sigma (z) = \textstyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^z}</math>
* <math>y - f(x) = 0</math> – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
* <math>x^2 + y^2 - 1 = 0</math> – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

== Funkcja jako związek między zmiennymi ==
Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi <math>x</math> i <math>y,</math> gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru <math>X,</math> a druga przyjmuje wartości ze zbioru <math>Y;</math> wtedy <math>x</math> nazywa się '''zmienną niezależną''', a <math>y</math> – '''zmienną zależną'''{{odn|Kuratowski|1967|s=60}}. Taka interpretacja funkcji jest często używana w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]] i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku '''niezależność''' zmiennej <math>x</math> oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a '''zależność''' zmiennej <math>y</math> oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej <math>x.</math> Na przykład droga <math>s</math> w [[ruch jednostajny|ruchu jednostajnym]] o prędkości <math>v</math> jest zależna od czasu <math>t</math> ruchu i wyraża się wzorem:
: <math>s = v \cdot t.</math>

W praktyce często się zdarza, że zbiór <math>X</math> jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych <math>x_1, ..., x_n.</math> Mówimy wtedy, że zmienna <math>y</math> jest funkcją zmiennych <math>x_1, ..., x_n.</math> Na przykład siła <math>F</math> działająca na ciało jest zależna od masy <math>m</math> ciała i jego przyspieszenia <math>a{:}</math>
: <math>F = m \cdot a.</math>

== Przykłady funkcji ==
=== W matematyce ===
Definicję funkcji spełniają na przykład:
* [[działania arytmetyczne]]: [[dodawanie]], [[odejmowanie]], [[mnożenie]] i [[dzielenie]]. Można je traktować jako funkcje liczbowe dwóch lub większej liczby zmiennych.
* Jednoargumentowe działania na liczbach: [[zaokrąglanie]], [[podłoga i sufit]] oraz część ułamkowa, [[wartość bezwzględna]], [[liczba przeciwna]] (przykład [[funkcja liniowa|funkcji liniowej]]), [[liczba odwrotna]] (przykład [[funkcja wymierna|funkcji wymiernej]]),
* [[średnia|średnie]]: [[średnia arytmetyczna|arytmetyczna]], [[średnia geometryczna|geometryczna]] i inne. To funkcje dwóch lub dowolnej liczby zmiennych. Można je traktować jako funkcje na [[ciąg (matematyka)|ciągach]] lub [[multizbiór|multizborach]] liczb.
* inne funkcje statystyczne, np. [[mediana]], [[dominanta (statystyka)|moda]], [[Funkcje minimum i maksimum|minimum i maksimum]],
* funkcje [[teoria liczb|teorioliczbowe]]: [[największy wspólny dzielnik]] i [[najmniejsza wspólna wielokrotność]] dwóch lub więcej liczb całkowitych,
* przekształcenia geometryczne: odbicie względem prostej lub punktu i inne [[symetria figury|symetrie]], [[obrót]] względem punktu lub osi, [[jednokładność]], [[dylatacja]], [[inwersja (geometria)|inwersja]] i wiele innych,
* odległość między punktami (w ogólności [[przestrzeń metryczna|metryka]]), długość [[wektor]]a (w ogólności [[przestrzeń unormowana|norma]]),
* [[Średnica#Średnica zbioru|Średnica zbioru]] – funkcja ze zbioru potęgowego dowolnej przestrzeni metrycznej,
* [[długość łuku|długość linii]] (łamanej lub ogólnie krzywej), w szczególności [[obwód (geometria)|obwód]] dla krzywych zamkniętych,
* [[pole powierzchni]], [[objętość]], [[prawdopodobieństwo]] i inne przykłady [[miara (matematyka)|miary]].
* działania na [[zdanie logiczne|zdaniach]] lub [[funkcja zdaniowa|formułach]]: [[negacja]], [[implikacja materialna|implikacja]], [[alternatywa]], [[alternatywa rozłączna]], [[koniunkcja (logika)|koniunkcja]], [[dysjunkcja (Sheffera)|dysjunkcja]], [[równoważność]],
* same formuły zdaniowe: przyporządkowanie [[term]]om zdania,
* [[wartość logiczna]],
* [[Zbiór#działania|działania na zbiorach]],
* działania na ciągach skończonych, jak [[permutacja]] (np. [[inwersja (kombinatoryka)|inwersja]]) oraz [[konkatenacja]],
* [[układ współrzędnych]] to funkcja z przestrzeni geometrycznej (zwłaszcza [[rozmaitość|rozmaitości]]) w [[Przestrzeń euklidesowa#Przestrzeń kartezjańska|przestrzeń kartezjańską]].

=== W fizyce ===
{{Zobacz też|zmienne zależna i niezależna}}
Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:
* Jednostki fizyczne są często [[funkcja liniowa|funkcjami liniowymi]] innych jednostek, np. temperatura w [[skala Fahrenheita|skali Fahrenehita]] jest liniową funkcją tej [[skala Celsjusza|Celsjusza]].
* Czasami jednostki są logarytmicznymi funkcjami innych jednostek, np. [[poziom natężenia dźwięku]], [[wysokość dźwięku]], [[Absolutna wielkość gwiazdowa|jasność absolutna]],
* W statyce: przyporządkowanie każdemu [[ciało (fizyka)|ciału fizycznemu]] jego [[masa (fizyka)|masy]] oraz [[środek masy|środka masy]]. Zgodnie z [[prawo Hooke’a|prawem Hooke’a]] siła nacisku lub naciągu jest proporcjonalna do odkształcenia ciała (dla odpowiednio małych wartości tych parametrów). To funkcje liniowe siebie nawzajem. Ich zależność opisują [[współczynnik sprężystości]], [[moduł Younga]] i inne. [[Tarcie (fizyka)|Tarcie]] jest liniową funkcją siły nacisku.
* W kinematyce: ruch ciał fizycznych opisywany jest przez [[wektor]] położenia lub przemieszczenia <math>\vec{r}</math> oraz [[Skalar (fizyka)|skalary]] odległości lub drogi ''s''. Wszystkie są funkcjami czasu. Ta pierwsza to tzw. [[Tor ruchu|trajektoria]] lub [[linia świata]]. Na ich podstawie są oparte inne funkcje czasu: [[prędkość]] i [[przyspieszenie]].
* W dynamice: [[pęd (fizyka)|pęd]] jest funkcją dwóch zmiennych: masy i prędkości, przy czym obydwie mogą być funkcjami czasu. Siła okazuje się pochodną pędu po czasie ([[zasady dynamiki Newtona|II zasada dynamiki]]). Praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała, a energia może być zależna od różnych wielkości. Energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości ''h'' od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury ''T''
* W bardziej zaawansowanej [[mechanika|mechanice]] definiuje się też inne wielkości dynamiczne: [[lagranżjan]], [[działanie (fizyka)|działanie]] i [[hamiltonian]], które też są funkcjami mas, położeń i prędkości.
* Liczne [[pole (fizyka)|pola fizyczne]]: funkcje z przestrzeni lub czasoprzestrzeni w zbiór skalarów, wektorów, tensorów itp.
* [[natężenie prądu elektrycznego|prąd]] jest funkcją [[napięcie elektryczne|napięcia]] – w prostych wypadkach opisywaną przez [[prawo Ohma]].
* W [[termodynamika|termodynamice]]: objętość ciał oraz ich [[gęstość]] jest funkcją temperatury – [[rozszerzalność cieplna]]
* W [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] [[wektor stanu]] bywa funkcją, a konkretniej zespolonym polem skalarnym – tzw. [[funkcja falowa]].
* [[Tensor]]y: formy wieloliniowe, czyli funkcje wielu [[wektor]]ów i kowektorów. Są używane w statyce ([[wytrzymałość materiałów]]), w optyce ([[dwójłomność]]) oraz w [[ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] [[Albert Einstein|Einsteina]].

=== W innych dziedzinach ===
Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą [[relacja równoważności|relację równoważności]] zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. [[inwolucja (matematyka)|inwolucja]].

Astronomia:
* położenie ciał niebieskich na niebie ([[Układ współrzędnych astronomicznych|współrzędne astronomiczne]]) jest funkcją czasu oraz współrzędnych geograficznych,
* okres obiegu planety wokół Słońca jest malejącą funkcją promienia jej orbity, zgodnie z [[prawa Keplera|III prawem Keplera]],
* [[jasność (astronomia)|jasność]] obserwowana gwiazdy jest funkcją jej jasności absolutnej i odległości od obserwatora,
* [[krzywa rotacji galaktyki]] – prędkość gwiazdy względem galaktyki jest funkcją odległości od jej środka,
* [[przesunięcie ku czerwieni]] widm odległych galaktyk jest funkcją ich odległości od Ziemi – zgodnie z [[prawo Hubble’a|prawem Hubble’a]],
* [[Diagram Hertzsprunga-Russella|Diagram HR]] opisuje moc promieniowania i temperaturę gwiazdy w funkcji czasu.

Chemia:
* Przykładowo [[liczba atomowa]], blok, grupa i okres w [[układ okresowy pierwiastków|UOP]] albo liczba [[elektron walencyjny|elektronów walencyjnych]] to funkcje na zbiorze [[pierwiastek chemiczny|pierwiastków chemicznych]]. Ta pierwsza jest różnowartościowa, a pozostałe – nie.
* [[liczba masowa]] i [[liczba neutronowa]] to funkcje na zbiorze [[nuklid]]ów (wszystkie [[izotopy]] wszystkich pierwiastków),
* [[masa cząsteczkowa]] – funkcja na zbiorze [[Cząsteczka|molekuł]] albo [[związek chemiczny|związków]],
* [[jądra lustrzane|jądro lustrzane]] – bijekcja w zbiorze nuklidów,
* odbicie lustrzane – bijekcja w zbiorze [[chiralność cząsteczek|cząsteczek chiralnych]],
* własności makroskopowe subtancji jak [[temperatura wrzenia]], [[temperatura topnienia]] itp.,
* [[skala pH]] jest logarytmiczną funkcją altywności jonów hydroniowych.

Biologia:
* Przykładem nieliczbowej funkcji jest [[kod genetyczny]]. Zgodnie z [[zasada szufladkowa Dirichleta|zasadą szufladkową Dirichleta]] nie może być funkcją różnowartościową, czyli innymi słowy jest zdegenerowany.
* [[mutacja|mutacje]] genowe – zmiana sekwencji nukleotydów, np. [[substytucja (biochemia)|substytucja]], [[delecja]], [[insercja]],
* komplementarny [[Nukleotydy|nukleotyd]] lub cała nić [[Kwas deoksyrybonukleinowy|DNA]],
* [[Dynamika liczebności populacji|krzywa wzrostu]] i inne parametry populacji.

Medycyna i fizjologia:
* [[Wskaźnik masy ciała|BMI]] – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
* [[Elektrokardiografia|EKG]] i [[Elektroencefalografia|EEG]] – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:
* [[wysokość bezwzględna]], [[temperatura]], [[ciśnienie atmosferyczne]], a dla zbiorków wodnych [[zasolenie]] – funkcje [[współrzędne geograficzne|współrzędnych geograficznych]]. To przykłady [[funkcja wielu zmiennych|funkcji wielu zmiennych]] – konkretniej [[pole skalarne|pól skalarnych]].
* Temperatura i ciśnienie są też funkcją współrzędnych geograficznych i wysokości bezwzględnej,
* średnia temperatura atmosfery ziemskiej jest od XX w. funkcją rosnącą – [[globalne ocieplenie]].

Geografia społeczna, demografia i socjologia:
* [[Struktura płci i wieku|piramida wieku]] danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
* [[opinia publiczna]], np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:
* funkcje [[podaż]]y i [[popyt]]u,
* [[cena]], np. [[kurs walutowy]],
* rozmaite parametry gospodarki: [[Produkt krajowy brutto|PKB]], [[inflacja]], [[dług publiczny]], [[Wskaźnik rozwoju społecznego|HDI]] itd. Można je traktować jako funkcje na zbiorze państw, a dla danego państwa: funkcje od czasu.
* Liczne krzywe ekonomiczne, np. [[Krzywa Laffera|Laffera]] i [[Krzywa Phillipsa|Phillipsa]]

Psychologia:
* wyniki testów [[iloraz inteligencji|IQ]] są rosnącą funkcją czasu – [[efekt Flynna]],
* funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. [[dolina niesamowitości]],
* wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i [[inteligencja emocjonalna|EQ]] jest opisanych funkcją [[rozkład normalny|rozkładu normalnego]].

== Pojęcia ==
=== Złożenie. Iteracja ===
{{Osobny artykuł|złożenie funkcji}}
[[Plik:Compfun.png|mały|250px|Dwie funkcje <math>f</math> i <math>g.</math> Ich złożenie przyjmuje wartości:<br /><math>(g \circ f)(\mathrm a) =</math> @<br /><math>(g \circ f)(\mathrm b) =</math> @<br /><math>(g \circ f)(\mathrm c) = \#</math><br /><math>(g \circ f)(\mathrm d) =\ !!</math>]]
Mając dwie funkcje <math>f\colon X \to Y</math> i <math>g\colon Y \to Z,</math> można utworzyć '''[[złożenie funkcji|funkcję złożoną]]''' <math>(g \circ f)\colon X \to Z</math> określoną wzorem <math>(g \circ f)(x) = g\Big(f(x)\Big).</math>

Wielokrotne złożenie funkcji <math>f\colon X \to X</math> nosi nazwę '''[[iteracja odwzorowania|iteracji]]'''. Ściśle: '''<math>n</math>-tą iteracją''' funkcji <math>f</math> nazywa się funkcję
: <math>f^n = \begin{matrix}\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}\\{n}\\[-4ex]\end{matrix}.</math>

=== Funkcja różnowartościowa ===
{{Osobny artykuł|funkcja różnowartościowa}}
Funkcję <math>f\colon X \to Y</math> nazywa się '''funkcją różnowartościową''' lub '''iniekcją''', gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości, tzn. dla dowolnych dwóch <math>x_1, x_2 \in X</math> zachodzi warunek
: <math>x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)</math> lub równoważnie <math>f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2.</math>

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = x + 5.</math>

=== Funkcja „na” ===
{{Osobny artykuł|funkcja „na”|o1=funkcja „na”}}
Funkcję <math>f\colon X \to Y</math> nazywa się '''funkcją „na”''' lub '''suriekcją''', jeżeli jej przeciwdziedzina <math>Y</math> jest równocześnie jej '''zbiorem wartości funkcji'''. Oznacza to, że dla każdego <math>y \in Y</math> istnieje co najmniej jeden taki <math>x \in X,</math> że <math>f(x) = y.</math>

=== Funkcja wzajemnie jednoznaczna ===
{{Osobny artykuł|funkcja wzajemnie jednoznaczna|permutacja}}
Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i „na” nazywa się '''funkcją wzajemnie jednoznaczną''' lub '''bijekcją'''. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu <math>x \in X</math> dokładnie jedno <math>y \in Y</math> (i na odwrót). Bijekcja <math>f\colon X \to Y</math> może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory <math>X</math> i <math>Y</math> mają tyle samo elementów (są równej [[moc zbioru|mocy]]). Bijekcję <math>f\colon X \to X</math> nazywa się '''permutacją'''.

=== Funkcja odwrotna ===
{{Osobny artykuł|funkcja odwrotna}}
Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję <math>f^{-1}\colon Y \to X</math> taką, że <math>(f \circ f^{-1})(x) = x,</math> którą nazywa się wówczas '''funkcją odwrotną'''.

=== Zawężenie i przedłużenie ===
{{osobny artykuł|Restrykcja funkcji}}
Dla funkcji <math>f\colon X \to Y</math> można określić jej '''zawężenie''', nazywane też '''obcięciem''' lub '''ograniczeniem''', do zbioru <math>M \subseteq X.</math> Jest to funkcja <math>f|_M\colon M \to Y</math> taka, że <math>f|_M(x) = f(x)</math> dla każdego <math>x \in M.</math> Nazywa się ją też [[funkcja częściowa|funkcją częściową]] dla funkcji ''f''{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=75}}.

Jeżeli <math>f\colon X \to Y</math> jest funkcją, a <math>f|_M\colon M \to Y</math> jest jej zawężeniem do zbioru <math>M \subset X,</math> to dla dowolnego zbioru <math>B \subset Y</math> mamy <math>\left(f|_M \right)^{-1} (B) = M \cap f^{-1}(B).</math>

Z drugiej strony, dla <math>M \subset X,</math> można '''przedłużyć''' funkcję <math>f\colon M \to Y</math> zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję <math>g\colon X \to Y.</math> Można np. wymagać, by przedłużenie <math>g</math> funkcji <math>f</math> było [[funkcja ciągła|ciągłe]], [[pochodna funkcji|różniczkowalne]] lub [[funkcja okresowa|okresowe]].

== Rys historyczny ==
Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już [[starożytna Grecja|starożytni Grecy]], którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w [[Średniowiecze|średniowieczu]], lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, [[Pierre de Fermat|Fermata]], [[René Descartes|Kartezjusza]], [[Isaac Newton|Newtona]] i [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniza]], zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu ''fluenta''<ref group=uwaga>Dokładniej, po łacinie, ''fluentes quantitates''.</ref>. Terminu ''funkcja'' użył po raz pierwszy<ref>Juszkiewicz, ''Historia matematyki od starożytności do początku XIX wieku'', s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski.</ref> Leibniz w pracy ''Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach''<ref>Gottfried Wilhelm Leibniz, ''Methodus tangentium inversa, seu de functionibus'' 1673.</ref>. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „[[Acta Eruditorum]]” w 1692 roku i dwa lata później w „[[Journal des Sçavans]]”. Następnie w tym samym 1694 roku [[Johann Bernoulli]] w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa ''funkcja'', oznaczył mimochodem literą ''n'' „''dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych''”<ref group=uwaga>...positio ''n'' esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.</ref><ref>Juszkiewicz, op. cit., s. 146.</ref>. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i <math>\xi,</math> a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „''od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja''”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy ''wielkość zmienna'' i ''wielkość stała''.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:
: {{Cytat| Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych<ref>{{cytuj książkę |nazwisko =Bernoulli |imię =Johann |autor link =Johann Bernoulli |tytuł =Opera Omnia |tom = II| miejsce =Lausannae-Genevae |rok =1742 |strony =241}}</ref>.}}

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę <math>\varphi,</math> zapisując argument jeszcze bez nawiasów <math>\varphi x.</math> Zarówno nawiasy, jak literę ''f'' wprowadził [[Leonhard Euler]] w 1734 roku.

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|funkcja}}
{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Pojęcie funkcji|link=Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Pojęcie funkcji}}
* [[funkcja kardynalna]]
* [[funkcja zdaniowa]]
* [[rachunek lambda]]
* [[symbol funkcyjny]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kuratowski |imię=Kazimierz|tytuł =Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej |wydawca =PWN |miejsce =Warszawa |rok = 1967| strony =|odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kuratowski|imię=Kazimierz| autor link= Kazimierz Kuratowski |nazwisko2 = Mostowski |imię2=Andrzej |autor link2= Andrzej Stanisław Mostowski| tytuł =Teoria mnogości |wydawca =PWN |miejsce =Warszawa |rok = 1966| strony =|odn=tak}}
* {{cytuj książkę|nazwisko=Rasiowa|imię=Helena|autor link=Helena Rasiowa|tytuł= Wstęp do matematyki współczesnej |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa|rok=1968|isbn=83-01-13949-8}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Kołmogorow |imię=Andriej| autor link=Andriej Kołmogorow |nazwisko2 = Fomin|imię2=Sergei |tytuł =Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej |wydawca =Mir |miejsce =Moskwa |rok = 1989| strony = |język = ru|odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Winogradow |imię= Iwan|autor link=Iwan Winogradow|tytuł =Encyklopedia matematyczna |tom = 5| wydawca =Encyklopedia Radziecka |miejsce =Moskwa |rok = 1985| strony = |język = ru|odn=tak}}
* {{cytuj książkę |autor =Juszkiewicz |tytuł = Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku |tom = 2| wydawca =PWN |miejsce =Warszawa |rok = 1976|odn=tak}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Funkcje matematyczne| ]]