Tekst źródłowy strony Delta Diraca

'''Delta Diraca''' – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego [[Fizyka teoretyczna|fizyka teoretycznego]] [[Paul Dirac|Paula Diraca]]. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w [[mechanika kwantowa|fizyce kwantowej]], [[elektronika|elektronice]], [[mechanika|mechanice]] i [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]], gdzie w szczególności jest ona [[oryginał transformaty|oryginałem]] dla [[Transformacja Laplace’a|transformaty Laplace’a]] <math>F(s)=1</math> i pochodną (w sensie dystrybucji) [[Funkcja skokowa Heaviside’a|funkcji skokowej Heaviside’a]]. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako [[Miara (matematyka)|miarę]], lub jako [[Teoria dystrybucji|dystrybucję]].

== Definicje ==
=== Definicja nieformalna ===
Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję <math>\delta \colon \mathbb R \to \overline \mathbb R</math> taką, że:
:<math>\delta(x) = \begin{cases} 0, & x \neq 0 \\ +\infty, & x = 0 \end{cases},</math>

oraz
: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\delta (x)\;dx} = 1</math><ref name=":0">{{Cytuj|tytuł=Matematyka, Fizyka, Chemia. Encyklopedia szkolna PWN|data=2005|miejsce=Warszawa|wydawca=PWN}}</ref>.

W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją całka z takiej funkcji musiałaby być równa 0 (np. [[całka Lebesgue’a]] – punkt x=0 jest zbiorem [[Miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]] równym 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0). Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna w ramach teorii zwykłych funkcji<ref name=":0" />.

=== Delta Diraca jako dystrybucja ===
Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako [[Teoria dystrybucji|dystrybucję]] <math>\delta \colon C_0^\infty (\mathbb R) \to \mathbb R,</math> tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem:
: <math>\delta(f):=f(0)</math><ref>{{Cytuj |autor=L. Górniewicz, R.S. Ingarden |tytuł=Analiza matematyczna dla fizyków |data=2012 |wydanie=V |miejsce=Toruń |wydawca=Wydawnictwo naukowe UMK |s=563}}</ref>.
{{Zobacz też|Teoria dystrybucji}}

=== Delta Diraca jako miara ===
Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako [[Miara (matematyka)|miarę]] <math>\delta \colon \mathcal B(\mathbb R) \to \mathbb \overline R_+</math> daną wzorem:
:<math>\delta(A) := \begin{cases} 1, & 0 \in A \\ 0, & 0 \notin A \end{cases},</math>

gdzie <math>\mathcal B (\mathbb R)</math> oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w <math>\mathbb R</math><ref name=":1">{{Cytuj|autor=J. Jakubowski, R. Sztencel|tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa|data=2010|wydanie=IV|miejsce=Warszawa|wydawca=SCRIPT|s=119}}</ref>.

== Własności delty Diraca ==
Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca. {{Zobacz też|Całka Lebesgue’a}}Całkę funkcji <math>f</math> względem miary <math>\mu</math> po zbiorze <math>A</math> oznacza się często <math>\int_A f(x) \mu (\text {d}x)</math><ref>{{Cytuj|autor=J. Jakubowski, R. Sztencel|tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa|data=2010|wydanie=IV|miejsce=Warszawa|wydawca=SCRIPT|s=361}}</ref>, dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text {d}x)</math> na całkę funkcji <math>f</math> względem delty Diraca po <math>\mathbb R.</math>

Delta Diraca ma następujące własności:
* <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text {d} x )=f(0),</math>
* <math>\int_\mathbb R \delta (\text{d}x)=1.</math>

Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.

'''Krok I'''

Gdy <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R_+</math> jest [[Funkcja prosta|funkcją prostą]], tzn. <math>f=\sum_{i=1}^n c_i \chi_{A_i},</math> to bez straty ogólności możemy założyć, że <math>0\in A_j,\ 1 \leqslant j \leqslant n.</math> Wtedy
: <math>\int_{\mathbb R} f(x) \delta (\text{d}x )=\int_\mathbb R \sum_{i=1}^n c_i\chi_{A_i}(x) \delta (\text {d}x)=\sum_{i=1}^n c_i \delta (A_i)=c_j=f(0).</math>

'''Krok II'''

Gdy <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R_+</math> jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych <math>(f_n)_n.</math> Wtedy korzystając z poprzedniego kroku
: <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text {d} x)=\lim_{n \to \infty} \int_\mathbb R f_n (x)\delta (\text {d} x)=\lim_{n\to \infty} f_n (0)=f(0).</math>

'''Krok III'''

Gdy <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> jest dowolną funkcją mierzalną, to <math>f=f_+-f_-,</math> gdzie
:<math>f_+(x) := \begin{cases} f(x), & f(x) \geqslant 0 \\ 0, & f(x) < 0 \end{cases},</math>

oraz
:<math>f_-(x) := \begin{cases} -f(x), & f(x) < 0 \\ 0, & f(x) \geqslant 0 \end{cases}.</math>

Wówczas, korzystając z poprzedniego kroku
: <math>\int_\mathbb R f(x) \delta (\text {d}x )=\int_\mathbb R f_+(x)\delta (\text {d}x)-\int_\mathbb R f_-(x)\delta (\text {d}x)=f_+(0)-f_-(0)=f(0),</math>

co kończy dowód.

W szczególności kładąc <math>f\equiv1</math> otrzymuje się
: <math>\int_\mathbb R \delta (\text{d}x)=1.</math>

Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę <math>\delta_a \colon \mathcal B (\mathbb R) \to \mathbb R_+</math> daną wzorem
:<math>\delta_a(A) := \begin{cases} 1, & a \in A \\ 0, & a \notin A \end{cases}.</math><ref name=":1" />

Wówczas
: <math>\int_\mathbb R f(x) \delta_a (\text{d}x)=f(a).</math>

== Zastosowania ==
W rachunku prawdopodobieństwa delta Diraca <math>\delta_a</math> jest [[Rozkład prawdopodobieństwa|rozkładem prawdopodobieństwa]] [[Zmienna losowa|zmiennej losowej]] <math>X</math> takiej, że <math>P(X=a)=1</math><ref name=":1" />.

Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w [[statyka|statyce]] – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili <math>t = 0,</math> o nieskończenie dużej [[amplituda|amplitudzie]] i polu równym 1.

== Zobacz też ==

* [[funkcja grzebieniowa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]
[[Kategoria:Fizyka matematyczna]]
[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]
[[Kategoria:Transmisja danych]]
[[Kategoria:Rozkłady prawdopodobieństwa]]