Tekst źródłowy strony Długość fali Comptona

'''Długość fali Comptona''', '''komptonowska długość fali (KDF)''' – [[Mechanika kwantowa|kwantowa]] własność [[Cząstka|cząstki]]. Pojęcie zostało wprowadzone przez [[Arthur Compton|Arthura Comptona]] w jego objaśnieniach dotyczących procesu rozpraszania [[foton]]ów przez [[elektron]]y (proces ten określany jest mianem [[Zjawisko Comptona|rozpraszania komptonowskiego]]). Długość fali Comptona cząstki jest równa [[Długość fali|długości fali]] fotonu, którego energia jest taka sama jak [[Równoważność masy i energii|masa spoczynkowa]] cząstki.

== Standardowa długość fali Comptona ==
Standardowa KDF <math>\lambda</math> dla danej cząstki jest wyrażona za pomocą wzoru
:: <math>\lambda = \frac{h}{m c},</math>

gdzie:
: <math>h</math> – [[stała Plancka]],
: <math>m</math> – masa spoczynkowa cząstki,
: <math>c</math> – [[prędkość światła]].

Znaczenie tego wyrażenia ukazane jest we wzorze na tzw. [[Zjawisko Comptona|przesunięcie Comptona]].

Wartość długości fali Comptona dla elektronu, obliczona przez [[CODATA]] w 2014 wynosi <math>2{,}4263102367(11)\cdot 10^{-12}\,\mathrm m</math><ref>CODATA 2014 value for [http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ecomwl Compton wavelength] for the electron from [[National Institute of Standards and Technology|NIST]].</ref>. Inne cząstki mają różne wartości długości fali Comptona.

== Zredukowana długość fali Comptona ==
Gdy długość fali zostanie podzielona przez <math>2\pi,</math> uzyskamy „zredukowaną” długość fali Comptona <math>\overline\lambda,</math> tj. długość fali Comptona dla 1 radiana zamiast dla <math>2\pi</math> radianów:
:: <math>\overline\lambda= \frac{\lambda}{2\pi} = \frac{\hbar}{m c},</math>

gdzie <math>\hbar</math> jest [[Stała Plancka|„zredukowaną” stałą Plancka]].

== Zastosowanie w równianiach dla masywnych cząstek ==
Zredukowana fala Comptona jest naturalną reprezentacją masy na poziomie kwantowym i występuje w tej postaci w wielu podstawowych równaniach mechaniki kwantowej. Zredukowana długość fali Comptona pojawia się w relatywistycznym [[Równanie Kleina-Gordona|równaniu Kleina-Gordona]] dla cząstki swobodnej:
:: <math>\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \left(\frac{m c}{\hbar} \right)^2 \psi.</math>

Występuje w równaniu Diraca (poniższe obliczenia są wyraźną kowariantną formą [[Konwencja sumacyjna Einsteina|konwencji sumacyjnej Einsteina]]):
:: <math>-i \gamma^\mu \partial_\mu \psi + \left( \frac{m c}{\hbar} \right) \psi = 0.</math>

Zredukowana fala Comptona pojawia się również w [[Równanie Schrödingera|równaniu Schrödingera]], choć jej obecność nie jest ujawniona w tradycyjnych reprezentacjach równania. Taka forma równania przedstawiona została poniżej (na przykładzie elektronu, pochodzącego z atomu wodoropodobnego):
:: <math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} \psi.</math>

Dzieląc obie strony równania przez <math>\hbar c,</math> otrzyma się następującą postać:
:: <math>\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2} \left(\frac{\hbar}{m c} \right) \nabla^2\psi -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c} \frac{Ze^2}{r} \psi.</math>

na końcu podstawiając [[Stała struktury subtelnej|Stałą struktury subtelnej]] <math>\alpha = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{\hbar c},</math> otrzymujemy:
:: <math>\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi = -\frac{1}{2} \left(\frac{\hbar}{m c} \right) \nabla^2\psi - \frac{\alpha Z}{r} \psi.</math>

== Relacja między zredukowaną i niezredukowaną długością fali Comptona ==
Zredukowana KDF jest naturalną reprezentacją dla masy w skali kwantowej. Równania, które odnoszą się do masy inercyjnej (jak np. równania Kleina-Gordona i Schrödingera), wykorzystują zredukowaną długość fali. Długość niezredukowanej fali Comptona jest naturalną reprezentacją masy, która została przekształcona w energię. W równaniach odnoszących się do zamiany masy w energię, a także do długości fal fotonów, które dokonują interakcji z masą, wykorzystują niezredukowaną długość fali.

Cząstka o masie spoczynkowej <math>m</math> posaida energię spoczynkową <math>E = mc^2.</math> Długość niezredukowanej fali Comptona tej cząstki jest długością fali fotonu o tej samej energii. Dla fotonów o częstotliwości <math>f</math> energia wynosi:
:: <math>E = h f = \frac{h c}{\lambda} = m c^2,</math>

przez co uzyskujemy wzór na niezredukowaną lub standardową KDF, jeżeli zostanie rozwiązany dla wartości <math>\lambda.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]
[[Kategoria:Fizyka atomowa]]